ไขความลับความไพเราะของเสียงดนตรีด้วยฟิสิกส์และคณิตศาสตร์

ขอเปิดตัวด้วยเพลงเปิดหัวของซีรี่ย์หนึ่งในดวงใจของผมตลอดกาล นั้นคือ Game of Thrones (GOT) แต่โพสนี้ไม่ได้เกี่ยวอะไรกับตัวซีรี่ย์เลย แค่อยากให้ทุกคนเปิดฟังเพลงเพราะๆจากวงเครื่องดนตรีขนาดใหญ่ก่อนที่จะอ่านบทความ

หลายๆคนฟังแล้วอาจจะเกิดคำถามว่า ท่วงทำนองของดนตรีที่สร้างขึ้นมานั้นฟังแล้วรู้สึกมันไพเราะมันเป็นเพราะอะไร อะไรเป็นปัจจัยที่ทำให้เรารู้สึกว่าดนตรีเหล่านี้เสนาะหู คำตอบคือ ดนตรีอันไพเราะนั้นมีโครงสร้างคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า “อนุกรมฟูเรียร์”  “ลำดับเรขาคณิต” และ “ลำดับเลขคณิต” กำกับอยู่ ในบทความนี้เราจะลองไปทำความเข้าใจกันครับ

อนุกรมฟูเรียร์

โฌแซ็ฟ ฟูรีเย (Joseph Fourier)  ชาวฝรั่งเศส เขาคิดเทคนิคทางคณิตศาสตร์เพื่อแก้ปัญหาการส่งถ่ายความร้อน (Heat transfer) และปัญหาการสั่น  (Vibration) ซึ่งต่อมารู้จักกันในชื่อ อนุกรมฟูเรียร์

ในช่วงศตวรรษที่ 18 ถือได้ว่าแคลคูลัสเป็นที่รู้จักและนำมาแก้ปัญหาหลายๆอย่างโดยหนึ่งในนั้นคือการสั่นของเชือก (Vibrating string) นักคณิตศาสตร์ชื่อ เทเลอร์ (ทุกคนต้องรู้จักอนุกรมเทเลอร์แน่นอน) เสนอสมการอนุพันธ์ที่ใช้บรรยายการสั่น(คลื่นนิ่ง)ของเชือก

\(\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\)     โดยให้ความเร็วคลื่นในเส้นเชือกเป็น \(c=1\)

และเสนอว่าคำตอบของสมการอยู่รูปของฟังก์ชันไซน์ \(a\sin(x)\cos(t)\) โดย \(a\) เป็นค่าคงที่

ต่อมา เบอร์นูลี (Bernoulli) ได้เสนอว่าจริงๆแล้วคำตอบของสมการด้านบนนั้นอยู่ในรูปอนุกรม

\(a_1\sin(x)\cos(t)+a_2\sin(2x)\cos(2t)+a_3\sin(3x)\cos(3t)+….\)

โดย \(\{ a_1, a_2,…\}\) เป็นค่าคงที่ รูปคำตอบของเบอร์นูลีนั้นทั่วไปกว่า อย่างไรก็ตามนักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่นะเวลานั้นก็ยังมีข้อเคลือบแคลงต่อวิธีการได้มาของคำตอบที่อยู่ในรูปผลรวมของฟังก์ชันตรีโกณ

ในปี 1807 ฟูรีเยได้ตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับผลเฉลยของการถ่ายเทความร้อนของแท่งโลหะเรียวยาว \(\pi\) ซึ่งอุณหภูมิ \(T(x,t)\) เป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและเวลา โดยมีเงื่อนไขขอบคือ \(T(0,t)=T(\pi,t)=0\) เขาเสนอว่าอุณหภูมิ ณ เวลาเริ่มต้น \(T(x,0)=F(x)\)  สามารถกระจายในรูปผลบวกของอนุกรมของฟังก์ชันไซน์

ความน่าสนใจคือ เจ้าฟังก์ชันไซน์(หรือโคไซน์) นั้นเป็นฟังก์ชันคาบ และสามารถนำฟังก์ชันที่มีความยาวคลื่นต่างกันอย่างเหมาะสมมาผสมกันสร้างฟังก์ชันคาบแบบใหม่ขึ้นมาได้ เพื่อให้เห็นภาพพิจารณาฟังก์ชัน \(F(x)=x\) โดยมีคาบ \(-3 \leq x \leq 3\) ดังรูปด้านล่าง

ตอนนี้เราทำการเสกฟังก์ชัน \(2\sin x\) ซึ่งวาดได้เป็น

เรานำเอาฟังก์ชันด้านบนไปบวกเพิ่มให้เป็น \(2(\sin x-1/2\sin 2x)\) จะทำให้ได้กราฟ

หากตอนนี้เราสนใจผลบวกที่ยุ่งยากขึ้น เช่น

\(2(\sin x-1/2\sin 2x+1/3\sin 3x+…-1/10\sin 10x)\)

จะได้กราฟ

และหากพิจารณาผลบวก \(2\sum_{n=1}^{100}(-1)^{n+1}1/n\sin nx\)    จะให้กราฟ

ซึ่งเราเห็นได้ว่าใกล้เคียงกับกราฟของฟังก์ชัน \(F(x)=x\;(-3\leq x\leq 3)\) ข้างต้นมาก สิ่งหนึ่งที่เราเห็น คือ มีพฤติกรรมยึกๆตรงยอด (overshoot) ซึ่งเป็นตำแหน่งที่กราฟเกิดการกระโดดจากคาบหนึ่งไปอีกคาบหนึ่ง (jump discontinuity) พฤติกรรมที่กราฟโดดเกินออกไป(พุ่งเกินออกไป)อย่างที่ควรเป็นนั้นไม่หายไปถึงแม้เราจะเพิ่มจำนวนพจน์ให้มากขึ้นไปอีกก็ตาม เช่น 200 พจน์ แต่จะยังคงมีอยู่ พฤติกรรมนี้รู้จักกันในชื่อ “ปรากฏการณ์กิบส์” (Gibbs phenomenon) ซึ่งเป็นผลของการประมาณฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างไซน์(โคไซน์)

จากการทดลองเสกผลรวมอนุกรมฟังก์ชันไซน์ด้านบนเราสรุปว่าฟังก์ชัน \(F(x)=x\;(-3\leq x\leq 3)\) นั้นสามารถ กระจายในรูปผลบวกของฟังก์ชันไซน์

\(F(x)=x=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin nx\)

โดย \(b_n\) เป็นสัมประสิทธิ์(ที่เหมาะสม) 

โดยทั่วไปแล้วสำหรับกราฟที่มีความเป็นคาบ \([-\pi,\pi]:F(x+2\pi)=F(x)\) ใดๆสามารถเขียนในรูปการกระจายผลบวกของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ได้ดังนี้

\(F(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)\)

ซึ่งสัมประสิทธ์ทั้งหมดหาได้จาก

\(a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\)  (ผลเฉลยฟังก์ชันใน 1 คาบ)

\(a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nxdx\)

\(b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nxdx\)

ซึ่งการพิสูจน์นั้นอาศัยสมบัติตั้งฉากของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ดังนี้

\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\sin nxdx= 0\)

และ

\(\int_{-\pi}^{\pi}\cos mx\cos nxdx= \begin{cases} 0& ; m\neq n \\ \pi &; m=n\neq 0 \\ 2\pi &; m=n=0 \end{cases}\)

\(\int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nxdx= \begin{cases} 0& ; m\neq n \\ \pi &; m=n \end{cases}\)

หากฟังก์ชันมีคาบเป็น \(2L\) แทนที่จะเป็น \(2\pi\) : \(F(x+2L)=F(x)\) เราสามารถแปลงตัวแปร \(t=\pi x/L\) โดยที่ \(G(t)=F(Lt/\pi)\) ทำให้เราเขียนอนุกรมฟูเรียร์ใหม่เป็น

\(G(t)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nt+b_n\sin nt)\)

หรือ

\(G(x)=a_0+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos (n\pi x/L)+b_n\sin (n\pi x/L))\)

จึงทำให้การคำนวณสัมประสิทธิ์กลายเป็น

\(a_0=\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)dx\)

\(a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos (n\pi x/L)dx\)

\(b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin (n\pi x/L)dx\)

เสียง

เสียงนั้นประกอบไปด้วยหลายๆโทนบริสุทธิ์ (Pure tones) ในโทนบริสุทธิ์ประกอบไปด้วยความถี่และแอมปริจูดซึ่งแสดงถึงระดับเสียง (Pitch) และความดังของเสียง (Strength) ตามลำดับ ซึ่งโทนบริสุทธิ์นั้นสามารถแสดงได้โดยฟังก์ชันไซน์(หรือโคไซน์) เช่น \(F(x)=A\sin(2\pi(220)x)\) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีแอมปริจูด \(A\) และความถี่ \(f=200\) Hz 

เรารู้ว่าฟังก์ชันไซน์ที่มีแอมปริจูดและความถี่ต่างกันสามารถรวมกันเชิงเส้น (Superposition) แล้วได้ฟังก์ชันตัวใหม่ เช่น

อย่างที่ได้กล่าวไปแล้วว่าเสียงสามารถประกอบไปด้วยโทนบริสุทธิ์(ฟังก์ชันไซน์)ที่แตกต่างกันหลายรูปแบบ

ผลเฉลยสมการคลื่นในเส้นเชือกสำหรับคลื่นนิ่ง

สำหรับสมการคลื่น \(\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\) โดยที่ \(0<x<l, t>0\) สำหรับเงื่อนไขเริ่มต้น \(y(0,x)=f(x)\) คือ ระยะขจัดเริ่มต้น และ \(y_t(0,x)=g(x)\) คือ ความเร็วเริ่มต้น เรากำหนดเงื่อนไขขอบดังนี้ \(y(t,0)=y(t,l)=0\) นั้นคือ ปลายไม่สั่น ในการแก้สมการคลื่นด้านบนเราทำการแยกตัวแปร \(y(t,x)=T(t)X(x)\) และแทนกลับลงไปในสมการคลื่นจะได้ทำให้เราได้

\(\frac{T”}{T}=\frac{X”}{X}=-\beta\)

เนื่องจากสมการโดนแยกออกมาเป็นสองข้างซึ่งขึ้นกับตัวแปรคนละตัว ดังนั้นสมการจะเป็นจริงได้เมื่อทั้งสองข้างต้องเท่ากับค่าคงที่ซึ่งเราเลือกให้เท่ากับ \(-\beta\)

ต่อไปเราพิจารณาสมการสำหรับ \(T\) ซึ่งคือ \(T”+\beta T=0\) เราหาคำตอบได้ทันที่เพราะรูปสมการนั้นเป็นรูปสมการที่เราเจอบ่อยครั้งมากๆในฟิสิกส์ เช่น สมการการสั่นอย่างง่าย ดังนั้นคำตอบคือ \(T(t)=A\cos(\sqrt \beta t)+B\sin(\sqrt \beta t)\)

สำหรับ \(X\) เราจะมี \(X”+\beta X=0\) คำตอบคือ \(X(x)=C\cos(\sqrt \beta x)+D\sin(\sqrt \beta x)\) จากเงื่อนไข

\(X(0)=0=C\cos(0)+D\sin(0)\rightarrow C=0\)

ทำให้เราเขียน \(X\) ใหม่ได้เป็น \(X=D\sin(\sqrt \beta x)\) ตอนนี้เราเหลือที่ 1 ค่าคงที่ที่ต้องหา จากเงื่อนไข

\(X(l)=0=D\sin(\sqrt \beta l)\rightarrow \beta=\frac{n^2\pi^2}{l^2}, n=1,2,3,….\)

ตอนนี้เรามี \(X_n(x)=D_n\sin\left( \frac{n\pi x}{l}\right), n=1,2,3,….\)

คำตอบของสมการคลื่นสามารถเขียนได้เป็น \(y_n(t,x)=T_n(t)X_n(x)=\left(a_n\cos\left(\frac{\pi nt}{l}\right) +b_n\sin\left(\frac{\pi nt}{l}\right)\right)\sin\left( \frac{\pi nx}{l}\right)\) โดยที่ \(a_n=D_nA_n\) และ \(b_n=D_nB_n\) เจ้า \(y_n\) เรียกอีกชื่อว่า นอร์มัลโหมด ของการสั่น เนื่องจากสมการคลื่นเป็นสมการเชิงเส้น ดังนั้นเราสามารถคำตอบทุกคำตอบ(ทุกนอร์มัลโหมด)มาเขียนรวมกันเชิงเส้นได้ (superposition principle)

\(y(t,x)=\sum_{n=1}^\infty y_n(t,x)=\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\left(\frac{\pi nt}{l}\right) +b_n\sin\left(\frac{\pi nt}{l}\right)\right)\sin\left( \frac{\pi nx}{l}\right)\)

ในสมการด้านบนนั้นเขียนอยู่ในรูปของอนุกรมฟูเรียร์และเรายังเหลือค่าคงที่ \(a_n\) และ \(b_n\) ที่ยังต้องทำนายค่าอยู่ซึ่งสามารถหาได้จากเงื่อนได้เริ่มต้นนั้น กล่าวคือ

\(y(0,x)=f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\left(\frac{\pi nt}{l}\right)\)

\(a_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)\cos\left(\frac{\pi nt}{l}\right)dx\)

และ

\(y_t(0,x)=g(x)=\sum_{n=1}^\infty b_n\left(\frac{\pi n}{l}\right)\sin\left(\frac{\pi nt}{l}\right)\)

\(b_n=\frac{2}{n\pi l}\int_0^l g(x)\sin\left(\frac{\pi nt}{l}\right)dx\)

หากเราเลือก \(g(x)=0\) คำตอบของสมการคลื่นจะเขียนได้เป็น

\(y_n(t,x)=a_n\cos\left(\frac{\pi nt}{l}\right)\sin\left( \frac{\pi nx}{l}\right)\)

และสำหรับเงื่อนไข \(y_n(t+T,x)=y(t,x)\) จะทำให้เราได้ว่า \(T_n=2l/n\) เรียกว่า คาบ ดังนั้นเราจะได้ความสัมพันธ์

\(T_n=\frac{2l}{n}=\frac{2\pi }{\omega}=\frac{1}{f_n}\)

โดยที่ \(f_n=n/2l\) คือ ค่าความถี่สำหรับนอร์มัลโหมดแต่ละอัน

ต่อไปเราจะทำความเข้าใจความถี่ของแต่ละโหมด ซึ่งจะมีคำศัพย์นิยามอยู่ ได้แก่ ความถี่มูลฐาน (Fundamental frequency) และฮาร์มอนิก (Harmonic) สำหรับการสั่นแบบคลื่นนิ่งในเส้นเชือก  (Standing wave) ที่มีความยาว \(l\) ที่โดนตรึงปลายทั้ง 2 ด้านที่อธิบายด้วยสมการที่หาคำตอบมาให้ด้านบน รูปแบบการสั่นพื้นฐาน(รูปแบบง่ายสุด)คือการสั่นตรงกลางด้วยความถี่ \(f_1\)  (มูลฐาน) เกิดเป็น 1 ลูป หรือเรียกว่า ฮาร์มอนิกลำดับแรก (1st harmonic) หรือ โทนมูลฐาน (Fundamental tone)

รูปแบบการสั่นถัดไปคือ 2 ลูป ซึ่งความถี่จะเป็น \(f_2=2f_1\)  เรียกว่า ฮาร์มอนิกลำดับสอง (2nd harmonic) หรือ โอเวอร์โทนลำดับแรก (1st Overtone) เพราะมีลูปเกินโทนมูลฐานมา 1 ลูป หากคิดง่ายๆ แน่นอนว่าเราสามารถสร้างลำดับการสั่นอันต่อๆไปได้ดังรูป ดังนั้นสำหรับาร์มอนิกลำดับที่ \(n\) หรือโอเวอร์โทนลำดับที่ \(n\) จะมีความถี่ \(f_n=nf_1\)

หากเรานำการสั่นในแต่ละแบบ(แต่ละโทน)มารวมกันจะทำให้เราได้รูปแบบการสั่นที่ยุ่งยากขึ้น(เสียงที่ยุ่งยากขึ้น) ดังรูปด้านล่าง

ตอนนี้เราเลือกแสดงความสัมพันธ์คลื่นและฮามอร์นิกดังรูปด้านล่าง

กราฟด้านบน(สีฟ้า)แสดงคลื่น(ไซน์)ที่มีความถี่ \(f_1=349\) Hz โดยเป็นความถี่มูลฐาน (เราเลือก) ส่วนกราฟด้านล่างนั้นแสดงจำนวนฮาร์มอนิก สำหรับกราฟด้านบนมีแค่ฮาร์มอนิกลำดับแรกจะแสดงเป็นแท่งสีแดงสูงเท่ากับแอมปริจูดของคลื่น คลื่น(เสียง)ด้านบนนี้เป็นโทนบริสุทธิ์

สำหรับเครื่องดนตรีนั้นถึงแม้จะเล่นโน๊ตเดียวกันในระดับเสียงเดียวกันแต่เรากลับรับรู้ได้ถึงความต่างของเสียงที่ออกจากเครื่องดนตรีแต่ละชิ้นได้(ทิมเบอะ:Timbre) คำถามคือเพราะอะไร คำตอบ คือ รูปแบบการผสมของฮาร์มอนิกที่แตกต่างกันนั้นเอง เช่น พิจารณาเสียงรูปแบบเดียว(โน๊ตเดียวกัน)กับจากเครื่อง OBOE และ CLARINET  ซึ่งมีรูปแบบคลื่นที่ต่างกันดังด้านล่าง

จากรูปด้านบนเสียงเดียวกันแต่จาก 2 เครื่องดนตรีนั้นประกอบไปด้วยฮาร์มอนิกที่แตกต่างกัน หากเทียบกันแล้วเสียงจาก OBOE นั้นดูจะยุ่งกว่าของ CLARINET เพราะเสียงจาก OBOE ประกอบด้วยฮาร์มอนิกที่แตกต่างเยอะกว่าของ CLARINET โดยของ CLARINET นั้นขนาดของฮาร์มอนิกจะลดลงตามลำดับ จากตรงนี้เราอาจจะกล่าวได้ว่าเสียงจาก CLARINET นั้นมีความบริสุทธิ์กว่าของ OBOE (ไม่ยุ่งเท่าของ OBOE นั้นเอง)

ตอนนี้เรากลับไปดูที่สมการอนุกรมฟูเรียร์ซึ่งหากเราเขียนกระจายออกมาจะอยู่ในรูป

(##) \(F(t)=a_0+a_1\cos\left(\frac{\pi t}{L}\right)+b_1\sin\left(\frac{\pi t}{L}\right)+a_2\cos\left(\frac{2\pi t}{L}\right)+b_2\sin\left(\frac{2\pi t}{L}\right)+…\)

ซึ่งเกิดจากการร่วมกันคลื่นที่มีความถี่เพิ่มข้ึนเป็น \(n=2,3,…\) ดังนั้นเราสามารถเรียก

\(a_n\cos\left(\frac{n\pi t}{L}\right)+b_n\sin\left(\frac{n\pi t}{L}\right)\)

ว่าเป็นฮาร์มอนิกลำดับที่ \(n\) ในอนุกรมฟูเรียร์ โดยแอมปริจูดของฮาร์มอนิกลำดับที่ \(n\) นั้นหาได้จาก 

\(A_n^2=a^2_n+b_n^2\)

หรือความสูงของแท่งสีแดงนั้นเองและ \(A_n^2\) คือ พลังงานของฮาร์มอนิกลำดับที่ \(n\) ดังนั้นกราฟก่อนหน้านี้ที่แสดงแท่งสีแดงนั้นเรียกว่า “สเปกตรัมของพลังงาน” (Energy spectrum) 

เพิ่มเติม: ตอนนี้เราขอขยายคำว่า “พลังงาน” ที่อยู่ในฟังก์ชัน \(F(t)\) อีกหน่อย จากสมการที่ (##) เราจะเห็นได้ว่าพลังงานของแต่ล่ะฮามอร์นิกนั้นมาจากผลรวมของสัมประสิทธิ์กำลังสอง ดังนั้นหากเราสนใจพลังงานทั้งหมดของฟังก์ชัน \(F(t)\) เราสามารถหาได้โดยพิจารณา

\(\int_{-L}^{L}F^2(t)dt=2La_0^2+L(a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2…)\)

หากเราสังเกตดีๆ เราจะพบว่าด้านซ้ายของสมการนั้นคล้ายๆกับเป็นกำลังสองของขนาดเวกเตอร์(หากแต่ต้องมองว่าตอนนี้เวกเตอร์นั้นเป็นฟังก์ชันแทน) ส่วนด้านขวานั้นเป็นกำลังสองของแต่ล่ะเบสิสที่ประกอบกันขึ้นมาเป็นเวกเตอร์ซึ่งเบสิสลำดับที่ \(0\) มีค่าคงที่  \(\sqrt{2L}\) และที่เหลือมีค่าคงที่  \(\sqrt{L}\) เพื่อทำให้เป็นมีขนาดเป็น \(1\) คูณอยู่นั้นเอง การได้มาซึ่งฝั่งซ้ายของสมการที่ (10) นั้นต้องอาศัยสมบัติการตั้งฉาก (8-10) ดังนั้นฟังก์ชัน \(F(t)\) อาศัยอยู่ในปริภูมิฟังก์ชันที่มีเบสิสที่ตั้งฉาก (Function space) ซึ่งจริงๆแล้วมันก็คือปริภูมิเวกเตอร์แบบหนึ่งนั้นเอง โดยขนาดของเวกเตอร์ใดๆในปริภูมินั้นเขียนโดย 

\(|| F||^2\equiv \int ||F(t)||^2dt\)

ซึ่งเป็นผลโดยตรงจากผลคูณภายใน (Inner product) \(<f,g>=\int f(t)g(t)dt\) หากตอนนี้เราเปลี่ยนวิธีการเรียกส่วนฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ในอนุกรมฟูเรียร์เป็น 

\(v_0=1/\sqrt{2L}\)

\(v_{2k}=\sin(k\pi t/L)/\sqrt{L}\)

\(v_{2k-1}=\cos(k\pi t/L)/\sqrt{L}\)

ดังนั้นเราจะเขียนฟังก์ชัน \(F(t)\) ใหม่ได้เป็น

\(F(t)=a_0v_0+a_1v_1+b_1v_2+a_2v_3+b_2v_4+…\)

ซึ่งมองได้ว่า  \(F(t)\) นั้นเป็นเวกเตอร์ที่ประกอบขึ้นมาจากชุดเบสิส \(\{v_0,v_1,v_2,… \}\) และชุด \(\{a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,… \}\) เป็นส่วนประกอบตามแนวเบสิสนั้นเอง  อย่างที่ได้กล่าวไปข้างต้นแล้วว่าเราสามารถมอง \(F(t)\) เป็นเวกเตอร์ได้ซึ่งอาศัยอยู่ในปริภูมิฟังก์ชันที่มีประกอบขึ้นมาจากเบสิสหนึ่งหน่วยที่มีสมบัติตั้งฉากจำนวนอนันต์ (\(<v_i,v_j>=\delta_{ij}\))

สำหรับภาษาควอนตัมนั้นปริภูมิฟังก์ชันดังข้างต้นนั้นเรียกว่า “ปริภูมิฮิลเบิร์ต” (Hilbert space) ซึ่งตัวอย่างที่ต้องเจอในหนังสือควอนตัมทุกเล่มคือ อนุภาคในบ่อศักย์อนันต์ ซึ่งเมื่อแก้สมการแล้วเราจะได้คำตอบที่เป็นไปได้จำนวนอนันต์ซึ่งสอดคล้องกับค่าสเปกตัมพลังงานแบบไม่ต่อเนื่องจำนวนอนันต์ค่า 

รูปแสดงฟังก์ชันคลื่นของอนุภาคที่อยู่บ่อศักย์อนันต์ 1 มิติ หากเทียบกับรูปกับสั่นของเส้นเชือกก่อนหน้านี้คือเหมือนกันเลยก็ว่าได้ !! (ตรงนี้ขอไม่ลงรายละเอียดเพราะเดี่ยวจะผิดเรื่องไป จริงๆหาอ่านได้ในหนังสือควอนตัมพื้นฐานเลยครับแต่หนังสือเล่มไหนจะชี้ประเด็นโครงสร้างเรื่องปริภูมิฮิลเบิร์ตลึกลงไปในประเด็นนั้นก็ต้องพิจารณาดูกันอีกที) 

หรือ อีกวิธีหนึ่งสามารถมองได้จากความสัมพันธ์ที่ว่า

\(a\cos \theta+b\sin\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta +\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta\right)=A\cos(\theta-\phi)\)

โดยที่ \(A^2=a^2+b^2\) และ \(\phi=\tan^{-1}\left(A/B\right)\)

ตอนนี้เรากลับมาเรื่องเสียงกันต่อ จริงๆแล้วเราสามารถนำเสียงที่เราสนใจใส่เข้าไปในโปรแกรมวิเคราะห์ความถี่ซึ่งมีให้ใช้มากมาย ซึ่งจะให้กราฟความถี่(kHz)กับความดัง(dB) เช่น ตอนนี้เราสนใจเครื่องดนตรี 2 ชิ้นได้แก่ Flute และ Violin ให้เล่นโน็ต G4 เหมือนกันแล้วนำไปเข้าโปรแกรม เราจะได้กราฟออกมาดังด้านล่าง

สำหรับโน๊ต G4 นั้นมีความถี่ประมาณตัวเลขกลมๆ 400 Hz(จริงๆ 392 Hz) จากรูปด้านบนทั้ง 2 จะเห็นได้ว่ามีพีคขึ้น ณ ตำแหน่ง 400 Hz 800 Hz 1200 Hz …… ซึ่งเข้ากับเงื่อนไขฮาร์มอนิกพอดีโดยมองว่าความถี่มูลฐานของโน๊ตนี้คือ f=400 Hz ดังนั้นความถี่ในโน๊ต G4 จะประกอบไปด้วยหลายฮาร์มอนิก f, 2f, 3f,… อย่างไรก็ตามเราสามารถแยกเสียงของโน็ต G4 จาก Flute และ Violin ได้เพราะรูปแบบของการผสมฮาร์มอนิกนั้นไม่เหมือนกัน(ดูจากรูปได้เลย) ปล ผลเหมือนกับเราวิเคราะห์สเปกตรัมของพลังงานในแต่ละฮาร์มอนิกก่อนหน้านี้

สเกลของดนตรี

ก่อนที่เราจะไปทำความเข้าในสเกลดนตรี (บันไดเสียง) เรามาลองทำความเข้าใจธรรมชาติพื้นฐานของเครื่องดนตรี ซึ่งส่วนใหญ่นั้นจะประกอบด้วยสาย(หากไม่เป็นสายก็เป็นการอัดอากาศซึ่งหลักการเดียวกัน) จากฟิสิกส์พื้นฐานเรารู้ว่าเส้นลวดที่ตรึงปลายทั้ง 2 ข้างนั้นความถี่นั้นเป็นไปตามสมการ

\(f=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}\) Hz

โดยที่ \(L\) คือความยาวเชือก \(T\) ความตึงเชือกและ \(\mu\) คือมวลต่อความยาว จากสมการความถี่นั้นเราพบว่าหากเราลดความยาวเชือกลงครึ่งหนึ่งความถี่จะเพิ่มเป็น 2 เท่าดังรูปด้านล่าง

รูปด้านบนแสดงตัวอย่างของโน๊ต low low low A ซึ่งมีความถี่ 55 Hz(ค่าความถี่ขึ้นกับ ความยาวเชือกในตอนเริ่มต้น) ซึ่งสอดคล้องกับการสั่นของเชือกแบบพื้นฐานสุด 1 ลูป หากเราทำการเลื่อนจุดตรึงใหม่โดยลดเหลือครึ่งหนึ่งของเริ่มต้น ความยาวเชือกใหม่จะเป็น \(L/2\)  ดังนั้นความถี่ของโน๊ตใหม่ low low A คือ 2(55)=110 Hz ซึ่งจะเรียกว่าเป็นความถี่ที่สูงขึ้นมาจาก 55 Hz เป็น 1 อ๊อกเทฟ (Octave) เราสามารถเลื่อนจุดตรึงเพื่อลดความยาวลงไปอีกครึ่งหนึ่งได้เป็นลำดับตามรูป ดังนั้นโน๊ต low A นั้นจะมีความถี่เป็น 2 อ๊อกเทฟของ low low low A และเป็น 1 อ๊อกเทฟของ low low A เป็นต้น

ความน่าสนใจ คือ หากเรานำความความถี่ของอ๊อกเทฟมาเรียงกันเป็นลำดับตัวเลขเราจะได้  55, 110, 220, 440, ….. ซึ่งเป็นลำดับเรขาคณิต(Geometric sequence) หรือเขียนใหม่ 55, (2)55, (2)(2)55, (2)(2)(2)55, …. นั้นคือ เราคูณด้วย 2 เข้าไปทุกลำดับของตัวเลขก่อนหน้านั้นเอง (จริงๆลำดับเรขาคณิตที่ง่ายที่สุดที่คูณด้วย 2 คือ 2, 4, 8, 16, 32,……) 

อย่างไรก็ดีเรารู้ว่าเชือกนั้นมีหลายโหมด(ฮาร์มอนิก)ที่สั่นได้ ซึ่งเส้นลวดนั้นอาจจะสั่นอยู่ในแต่ละโหมดหรือผสมกันก็ได้อย่างที่ได้กล่าวไปแล้ว(ดูกราฟของโน็ตก่อนหน้านี้ที่มีอยู่หลายฮาร์มอนิกผสมกันอยู่)

รูปด้านบนแสดงความสัมพันธ์ของความถี่ในแต่ล่ะฮาร์มอนิก โดยที่ความถี่มูลฐาน(ฮาร์มอนิกที่ 1)ของตัวอย่างนี้คือ 55 Hz ฮาร์มอนิกที่ 2 คือ 110=2(55) Hz ฮาร์มอนิกที่ 3 คือ 165=3(55) Hz เป็นต้น(กลับไปข้างต้นยังคำอธิบายเรื่องนี้หากลืม) เมื่อเรานำเอาความถี่ฮาร์มอนิกมาเรียงกันเราจะได้ 55, 110, 165, 220, 275,….. ซึ่งเป็นลำดับเลขคณิต (Arithmatic squence) หรือเขียนใหม่เป็น 55, 55+55, 55+55+55,…. คือเราทำการบวกด้วย 55 เข้าไปกับลำดับตัวเลขก่อนหน้านั้นเอง (ตัวอย่างของลำดับเลขคณิตที่ง่ายที่สุดคือ 2, 6, 8, 10,…. ซึ่งทำการบวกด้วย 2 เข้าไปตัวเลขก่อนหน้านั้นเอง)

หากเรานำตัวเลขของลำดับเรขาคณิตของความถี่อ๊อกเทฟและลำดับเลขคณิตของความถี่ฮาร์มอนิกมาเรียงซ้อนกันเราจะได้

2  4  6  8  10 12  14  16  18  20 ……. ลำดับของความถี่ฮาร์มอนิก

2  4      8                     16           ……. ลำดับของความถี่อ๊อกเทฟ

  0    1               3                      7        ตัวเลขแสดงการข้ามไปของความถี่อ๊อกเทฟเทียบกับความถี่ฮาร์มอนิก

ภาพด้านบนแสดงความสัมพันธ์ความถี่ฮาร์มอนิกและความถี่อ๊อกเทฟของโน๊ต low low low A ของเปียนโน เรียกว่า สเกลของ A เมเจอร์

สเกลดนตรี คือ ชุดของตัวโน๊ตซึ่งลำดับด้วยความถี่มูลฐาน สเกลดนตรีนั้นมีอยู่หลากหลายซึ่งส่วนใหญ่เป็นแบบการซ้ำอ๊อกเทฟ (Octave-repeating) ซึ่งแสดงได้ด้วยวงกลม เช่น สำหรับสเกล C เมเจอร์(หรือจะ A เมเจอร์ก็ได้) ซึ่งทั้งชุดประกอบไปด้วย 12 โน๊ตได้แก่  C C# D Eb E F F# G Ab A Bb B C ความถี่ของ C(ลำดับ 0)=440 Hz เมื่อขยับไปครบรอบ C(ลำดับ 12)=880 Hz เรียกว่าโน๊ตที่มีอ๊อกเทฟเหนือโน๊ตเริ่มต้น 2 เท่า

รูปด้านบนนั้นแสดงสเกลที่เรียกว่า โครมาติกสเกล (Chromatic scale) หากเรารู้ว่าความถี่ของโน๊ต C นั้นคือ \(f_0\)  ซึ่งเป็นความถี่มูลฐาน   เมื่อเราขยับไปยังโน๊ตต่อไปคือ C# ที่มีความถี่ \(f_1\) โดยที่อัตราส่วน \(f_1/f_0=r\) ทำให้ได้ความสัมพันธ์ \(f_1=rf_0\) ต่อไปเราขยับไปยังโน๊ตต่อไปคือ D โดยมีความถี่ \(f_2\) ซึ่งอัตรส่วน \(f_2/f_1=r\) นั้นคงที่และทำให้เราได้ความสัมพันธ์ \(f_2=r^2f_0\) แน่นอนว่าเราขยับไปจนครบรอบเราพบว่า \(f_{12}=r^{12}f_{0}=2f_0\) ดังนั้นเราพบว่า \(r=\sqrt[12]{2}\approx 1.059…\) (เมจิกนัมเบอร์!) ซึ่งการสเกลตัวโน๊ตแบบนี้เรีกกว่า ระดับเสียงแบบแบ่งเท่า (Equal temperament) กระบวนการข้างต้นนั้นเมื่อครบรอบวงกลมแล้วชุดของตัวโน๊ตนั้นก็จะขยับไปยังอ๊อกเทฟที่สูงขึ้นตามลำดับ(ดูรูปเปียนโนประกอบ)

บีตส์ (Beats): เมื่อคลื่นรูปไซน์ 2 อันที่มีความถี่ใกล้เคียงกันจะทำให้เกิดรวมกันจะเกิดความถี่บีตส์

 ปกติมนุษย์เรานั้นไม่ชอบเสียงแบบบีตส์มันไม่รู้สึกเสนาะหู ดังนั้นความเข้มของบีตส์นั้นสามารถบอกความไพเราะ (Consonance หรือ Harmoniousness) และความไม่ไพเราะ (Dissonance) ดังรูปด้านข้าง แกนนอนคือ \(f_2/f_1\)

จากเงื่อนไขด้านบนเราสามารถนำมาวิเคราะห์หาได้ว่าคู่โน๊ตไหนที่เล่นด้วยกันแล้วจะออกมาไพเราะหรือไม่เพราะ ดังตัวอย่างรูปด้านล่าง

รูปบนเป็นการแสดงความถี่ฮาร์มอนิกของ low low C และ low C ซึ่งเป็นอ๊อกเทฟกันอยู่ เราจะเห็นว่าความถี่ของทั้ง 2 โน๊ตนั้นมีคู่ที่ทับกันพอดีทั้งหมดหลายคู่(ดูหัวใจ) หากเราเล่น 2 โน๊ตด้วยกันเสียงที่ออกมาจะไพเราะหู

รูปล่างเป็นการแสดงความถี่ฮาร์มอนิกของ low low C และ F# เราจะเห็นว่าความถี่ของทั้ง 2 โน๊ตนั้นมีคู่ที่ไม่ทับกันพอดีทั้งหมดหลายคู่(เหลื่อมๆกัน)(ดูดาว) อันนำมาซึ่งการเกิดบีตส์ หากเราเล่น 2 โน๊ตด้วยกันเสียงที่ออกมาจะไม่ไพเราะหู

จบครับ หวังว่าพอจะเห็นภาพนะครับ ว่าเหตุที่เราฟังดนตรีนั้นเพราะอะไร สิ่งที่สำคัญมากๆที่อยากจะสื่อสารคือ เรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์แล้วทำให้เราเข้าใจปรากฏการณ์ต่างๆรอบตัวเราได้ดีมากขึ้น ลึกมากขึ้น เมื่อเราเข้าใจมันดีมากระดับรากฐานแล้ว เราก็สามารถนำไปประยุกต์ต่อยอดได้อีกมากมาย ดังนั้นหากใครถามว่าเรียนฟิสิกส์หรือคณิตศาสตร์ไปทำอะไร เราก็สามารถตอบได้อย่างเต็มปากว่า เรียนไปแล้วทำให้เราฉลาด เข้าใจและรู้เท่าทันปรากฏการณ์ธรรมชาติต่างๆรอบตัวเรา

อ้างอิง

[1] https://www.uwlax.edu/urc/jur-online/pdf/2011/hammond.mth.pdf

[2] https://www.intmath.com/fourier-series/6-line-spectrum.php

[3] http://seetimbre.com/timbre/

[4] http://newt.phys.unsw.edu.au/jw/sound.spectrum.html

[5] http://amath.colorado.edu/pub/matlab/music/MathMusic.pdf

 ขอบคุณน้องรักโตโต้ที่ช่วยแนะนำเรื่องสเกลดนตรี