แรงอนุรักษ์ (conservative force)

วันนี้จะพาไปทำความเข้าใจเกี่ยวกับธรรมชาติของแรงอนุรักษ์ ปกติเราเรียนกันมาเราก็ท่องไปว่า งานเนื่องจากแรงอนุรักษ์ไม่ขึ้นกับเส้นทางแต่ขึ้นกับจุดต้นและจุดปลาย (path independence) หรือ งานเป็นศูนย์สำหรับเส้นทางที่เป็นวงปิด (loop) เพื่อให้ภาพชัดเจนขึ้นเราจะขอยกตัวอย่างที่เราอาจจะเคยผ่านตากันมาบ้างแล้ว

เราพิจารณาการเคลื่อนที่ของมวล m จากจุด A ไปยังจุด B โดยผ่านสองเส้นทางดังรูปด้านบน เราพบว่างานที่ทำเนื่องจากแรงโน้มถ่วง mg ของเส้นทางสี่แดงนั้นคือ W(แดง)=mgh สำหรับงานที่เกิดจากเส้นทางที่ดำนั้น แบ่งเป็นสองช่วง W(ดำเฉียง)+W(ดำนอน)=mgcos(S)L+0 =mgh โดย Lcos(S)=h ดังนั้นเราจะเห็นได้ว่างานที่ทำเนื่องจากแรงโน้มถ่วงนั้นไม่ได้ขึ้นกับเส้นทางหรือแรงโน้มถ่วงเป็นแรงอนุรักษ์

ต่อไปเราพิจารณาตัวอย่างสำหรับแรงไม่อนุรักษ์บ้าง เราพิจารณาการลากมวล m ไปบนพื้นห้องที่มีแรงเสียดทานจากจุด A ไปจุด B ดังรูปด้านล่าง

งานที่ทำโดยแรงเสียดทานของเส้นแดงคือ W(แดง)=-fa แต่สำหรับงานของเส้นสีดำนั้นคือ W(ดำ)=-fb-fa-fb=-fa-2fb ซึ่งจะเห็นได้ว่างานที่แรงเสียดทานทำนั้นขึ้นกับเส้นทาง ดังนั้นแรงเสียดทานจึงไม่เป็นแรงอนุรักษ์

สำหรับแรงโน้มถ่วง(ประมาณ)และแรงเสียดทานนั้นเป็นตัวอย่างของแรงที่มีค่าคงที่ ต่อไปเราจะทำการพิจารณาแรงที่ไม่คงที่ ตัวอย่างที่เราคุ้นเคยกันมากที่สุดอันหนึ่งคือแรงเนื่องจากสนามไฟฟ้า

เราพิจารณาการเลื่อนประจุทดสอบขนาดหนึ่งหน่วยภายใต้สนามไฟฟ้าของประจุ q ตามรูป โดยสนามไฟฟ้า ณ ตำแหน่งใดๆที่มีระห่างจากประจุ q เป็นรัศมี r คือ

โดย k เป็นค่าคงที่ สนามไฟฟ้าของจุดประจุ q มีสมมาตรเชิงทรงกลมโดยจะเป็นฟังก์ชันที่ขึ้นกับรัศมีเท่านั้น เราสามารถเขียนงานที่ทำโดยสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุ q ในการเคลื่อนประจุทดสอบจากจุด A ไปยังจุด B คือ

โดย dl นั้นเป็นเวกเตอร์ความยาวพื้นฐานตามแนวการเคลื่อนที่ สมการของงานด้านบนนั้นอยู่ในรูปของอินทีกอลซึ่งเป็นผลมาจากแนวคิดที่เราทำการรวมงานย่อยตลอดแนวการเคลื่อนที่ เมื่อส่วนย่อยๆนั้นมีขนาดเล็กมากๆเราก็จะได้สมการด้านบน

สำหรับระบบพิกัดคาทีเชียน (x,y,z) เราเขียน dl ได้เป็น

แน่เนื่องจากสนามไฟฟ้ามีสามารถเชิงทรงกลม ดังนั้นเราเลือกเขียน dl ในพิกัดทรงกลมได้เป็น

ดังนั้นงานจาก A ไปยัง B คือ

เราจะเห็นได้ว่าสุดท้ายแล้วงานเนื่องจากสนามไฟฟ้าเนื่องจากประจุ q ในการเคลื่อนประจุทดสอบนั้นขึ้นกับรัศมีของตำแหน่งแรกและรัศมีของตำแหน่งสุดท้าย แสดงว่าไม่ว่าจะเป็นงานที่ทำตามเส้นสีดำหรือมีแดงนั้นไม่แตกต่างกัน ดังนั้นเราสรุปได้ว่าแรงเนื่องจากสนามไฟฟ้าเป็นแรงอนุรักษ์

จากผลการคำนวนด้านบนงานเท่ากับลบของการเปลี่ยนแปลงของพลังงานศักย์ไฟฟ้า

และเรานิยามพลังงานศักย์ไฟฟ้าต่อหนึ่งหน่วยประจุเป็นศักย์ไฟฟ้า

ดังนั้นเราจะได้ความสัมพันธ์

ดังนั้นเราจะมีความสัมพันธ์

ซึ่งบอกเราว่า

สมการด้านบนบอกเราว่าสนามไฟฟ้าพุ่งไปในทิศทางที่ศักย์มีค่าลดลง

หากเราสนใจงานในการเคลื่อนประจุทดสอบสำหรับเส้นทางที่เป็นวงปิด C ใดๆ ภายใต้สนามไฟฟ้าจากประจุ q

เราพบว่างานในการเคลื่อนประจุทดสอบเป็นศูนย์

จากทฤษฏีบทของสโตกส์เราสามารถเปลี่ยนการอินทีเกรทรอบวงปิดของสนามเวกเตอร์ไปเป็นการอินทีเกรทพื้นผิวที่โดนปิดล้อมด้วยวงปิดนั้น(แสดงดังรูปด้านบน) ได้ว่า

เนื่องจากอินทีเกรทรอบวงปิดของสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ ดังนั้นเคิร์ลของมันก็ต้องเป็นศูนย์ด้วย

สมการด้านบนบอกเราว่าสนามไฟฟ้าเป็นสนามเวกเตอร์แบบไม่มีลักษณะของการหมุนวน (irrotational field)

จากการคำนวณด้านบนเราสามารถสรุปความต้องการพื้นฐานสำหรับแรงที่เป็นแรงอนุรักษ์ได้ดังนี้

สำหรับสนามของแรง(force field)อนุรักษ์ใดๆ ต้องเป็นไปตามเงื่อนไขตามข้อต่อไปนี้ [ปล ขยายความคำว่าสนามของแรง ในที่นี้หมายความว่าทิศของสนามและของแรงที่สัมพันธ์กับมันว่างตัวแนวเดียวกัน เช่น แรงไฟฟ้า แรงโน้มถ่วง เป็นต้น]

จากที่เราศึกษามาเราเห็นได้ว่า เงื่อนไขที่ 1) นั้นนำไปยังเงื่อนไขที่ 2) ผ่านทฤษฏีบทของสโตกส์ ส่วนเงื่อนไขที่ 2) นั้นนำไปสู่เงื่อนไขที่ 3) โดยอาศัยแคลคูลัสพื้นฐาน เงื่อนไขที่ 3) นำไปสู่เงื่อนไขที่ 1) จากความสัมพันธ์ในเวกเตอร์แคลคูลัสที่ว่า เคิร์ลของเกรเดี่ยนสำหรับสเกลาฟังก์ชันใดๆเป็นศูนย์ ดังนั้นเงื่อนไขทั้งสามนั้นเท่าเทียมกันสำหรับสนามแรงอนุรักษ์ใดๆ

ตัวอย่างของแรงไม่อนุรักษ์นอกจากแรงเสียดทานแล้วได้แก่แรงแม่เหล็ก

เราพบว่าแรงแม่เหล็กมีทิศตั้งฉากกับแนวการเคลื่อนของประจุ q ตลอดเวลา ดังนั้นงานเนื่องจากแรงแม่เหล็กตลอดการเคลื่อนที่ตามเส้นทางใดๆเป็นศูนย์และก็เป็นจริงสำหรับเส้นทางวงปิด C ใดๆด้วย

แต่เรายังไม่สามารถสรุปได้ทันทีว่าแรงแม่เหล็กเป็นแรงอนุรักษ์ เราจำเป็นตรวจสอบเงื่อนไขสามข้อดังให้ไว้ในข้างต้น ข้อสังเกตุที่หนึ่งคือ สนามแม่เหล็กไม่ได้เป็นสนามของแรงเพราะทิศของแรงและสนามวางตัวตั้งฉากกัน และที่สำคัญ

เนื่องจากสนามแม่เหล็กมีสมบัติของการหมุนวน ดังนั้นเงื่อนไขข้อที่ 1) นั้นตกไป ทำให้เงื่อนไขที่ 2) และ 3) ไม่เป็นจริงด้วย ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่าแรงไม่เหล็กไม่เป็นแรงอนุรักษ์