การประกาศรางวัลโนเบลสาขาฟิสิกส์ประจำปี 2020 เมื่อวันที่ 6 ตุลาคม 2020 นั้นสร้างแรงกระเพื่อมมหาศาลในแวดวงฟิสิกส์เมืองไทยเป็นอย่างมากๆ เพราะหัวข้อที่คณะกรรมการโนเบลให้นั้นคือ หลุมดำ ซึ่งดูไกลตัวมวลมนุษยชาติและไม่เกิดประโยชน์โดยตรงอย่างชัดเจน โดยรางวัลปีนี้แบ่งออกเป็น 2 ส่วน ได้แก่ ครึ่งแรกให้แก่
โรเจอร์ เพนโรส นักฟิสิกส์และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ สำหรับที่แสดงให้เห็นเชิงประจักษ์ผ่านคณิตศาสตร์ว่า กระบวนการเกิดหลุมดำนั้นหลีกเลี่ยงไม่ได้ตามทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
และอีกครึ่งแบ่งกันระหว่าง
ไรน์ฮาร์ด เกนเซล และ แอนเดรีย เกซ สำหรับการค้นพบวัถตุขนาดกะทัดรัดที่มีมวลมหาศาลใจกลางกาแลกซี่ของเรา
เอกสารอธิบายความสำคัญของงานของทั้ง 3 คน นั้นอ่านได้จากเวปของโนเบลเองเลยครับ
ส่วนตัวผมนั้นเป็นแฟนคลับของเพนโรส ดังนั้นโพสนี้ผมจะเขียนเนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับเพนโรสนะครับ หากเราไปอ่านในเอกสารตามลิงค์ข้างต้นจะมีหัวข้อ ทฤษฎีบทภาวะเอกฐาน (The singularity theorem) และมีคำสำคัญ ได้แก่ หลุมดำ ภาวะเอกฐาน แผนภาพเพนโรส ดังนั้นในบทความนี้ผมจะพยายามเล่าเรื่องเหล่านี้และชี้ให้เห็นถึงความสำคัญของสิ่งที่เพนโรสได้ค้นพบด้วยเวทมนต์ที่เรียกว่า คณิตศาสตร์
ภาวะเอกฐาน(คณิตศาสตร์)
ตัวอย่างที่ง่ายๆ ที่จะทำให้เราภาวะเอกฐานก็กรณีที่เราพิจารณาฟังก์ชันของ 1 ตัวแปร เช่น \(f(x)=\frac{1}{x}\) โดยที่ \(x\in \mathbb R\) เราพบว่าฟังก์ชัน \(f(x)\rightarrow \pm\infty\) เมื่อ \(x\rightarrow 0\) ดังนั้น ณ จุด \(x=0\) ฟังก์ชัน \(f(x)\) ไม่นิยาม(หาค่าไม่ได้) เรียก \(x=0\) ว่าภาวะเอกฐานของฟังก์ชัน \(f(x)\)
นอกจากนั้นตัวอย่างด้านบนแล้ว เรายังมีอีกตัวอย่าง เช่น \(f(x)=|x|\) เราพบว่า ณ ตำแหน่ง \(x=0\) นั้นอนุพันธ์ของ \(f(x)\) ไม่นิยาม ดังนั้น ณ จุด \(x=0\) นั้นคือ ภาวะเอกฐานของฟังก์ชัน \(f(x)\)
หากเราขยายแนวคิดไปยังกรณี 2 ตัวแปร เช่น \(z(x,y)=-\frac{1}{x^2+y^2}\) เราพบว่าหากเรานิยามให้ \(x^2+y^2=r^2\) ดังนั้น \(z(r)=-\frac{1}{r}\) และจะเกิดภาวะเอกฐาน ณ \(r=0\) เนื่องจากค่าฟังก์ชัน \(z\) ไม่นิยามตามรูปด้านล่าง
ตอนนี้เรามีแนวคิดพื้นฐานสำหรับภาวะเอกฐานในแง่มุมของคณิตศาสตร์ซึ่งจะเป็นพื้นฐานในการทำความเข้าใจภาวะเอกฐานที่เกิดขึ้นในกาลอวกาศตามทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
จีโอเดสิก
นิยาม(อย่างง่าย)ของจีโอเดสิกคือ ระยะที่สั้นที่สุดที่เชื่อมระหว่างจุด 2 จุดบนปริภูมิที่เราสนใจ
สำหรับปริภูมิยูคลิด 3 มิติ \(x-y-z\) นั้น ระยะที่สั้นที่สุดระหว่างจุด 2 จุดนั้นคือ เส้นตรง ดังรูป
จากทฤษฎีบทปีทาโกรัส เรามี
\(ds^2=dx^2+dy^2+dz^2\)
เราเขียนใหม่ได้ในรูปผลคูณเมทริกซ์
\(dx^2=\begin{pmatrix} dx & dy & dz \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}\)
หากเรานิยามตัวแปรใหม่ \(dx^1=dx\), \(dx^2=dy\), \(dx^3=dz\) และให้
\(g=[g_{\mu\nu}]=\begin{pmatrix}1 &0 &0 \\ 0 &1 &0 \\ 0& 0 &1 \end{pmatrix}=[\delta_{\mu\nu}]\)
คือ เมตริกเทนเซอร์ สำหรับปริภูมิยูคลิด 3 มิติ จะทำให้เราเขียนสมการ \(ds^2\) ใหม่ได้เป็น
\(ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\) โดย \(\mu,\nu=1,2,3\)
จากเมตริกเทนเซอร์จะเห็นได้ว่ามีค่าคงที่(มีค่าเป็น 1 ตามแนวแทยง) นั้นหมายความว่าทั่วปริภูมิไม่ว่าเราจะวัดระยะระหว่าง 2 จุดใดๆ เราก็ยังใช้เมตริกเทนเซอร์ตัวเดิมหรือมองได้ว่าปริภูมิเรียบ(Flat space) อีกประการคือ การที่เมตริกเทนเซอร์นิยามนั้นเราก็สามารถขยายเส้นตรงไปยาวเท่าไรก็ได้(ตรงนี้เราอาจจะคิดว่าปริภูมินั้นต่อเนื่องขอบเขตเป็นอนันต์)
เมื่อถึงยุคที่ไอน์สไตน์ปฏิวัติความเข้าใจเกี่ยวกับกาลและอวกาศซึ่งต้องรวมกันเป็นกาลอวกาศตามทฤษฏีสัมพัทธภาพพิเศษ(ยังไม่ได้คิดผลของความโน้มถ่วง) ระยะระหว่างจุด 2 จุด ในปริภูมิมินคอฟสกี
\(ds^2=-cdt^2+dx^2+dy^2+dz^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu\)
โดย \([x^\mu]=(-cdt\;dx\;dy\;dz)\) และ \(\mu,\nu=0,1,2,3\)
โดยที่ เมตริกเทนเซอร์สำหรับกรณีคือ
\([g_{\mu\nu}]=\begin{pmatrix}-1 &0 &0 &0 \\ 0 &1 &0&0 \\ 0& 0 &1&0\\ 0& 0& 0 &1 \end{pmatrix}\)
เราจะเห็นได้ว่าเมตริกเทนเซอร์คงที่ ดังนั้นแนวคิดเรื่องการขยายเส้นตรงให้ยาวออกไปเหมือนกรณีก่อนหน้านี้ก็ไม่ได้เป็นปัญหา ทั้งนี้อ่านเพิ่มเติมในส่วนทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษจากหนังสือที่ผมเขียนเอาไว้(แจกฟรี ปล ยังไม่ได้พิสูจน์ตัวอักษร)
ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเราจะมีโครงสร้างของเหตุและผลแสดงดังรูปด้านบน หากเราพิจารณาเหตุการณ์ A เราพบว่าจีโอเดสิกที่สุดระหว่าง A และ C คือ ระยะที่วัดจากเส้นตรง ซึ่งสมการเขียนได้เป็น
\(ds^2=-cdt^2+dx^2\)
พบว่าส่วน \(-cdt^2\) นั้นโตกว่าส่วน \(dx^2\) ดังนั้นสำหรับจีโอเดสิกนี้เราเรียกว่า ไทม์ไลค์จีโอเดสิก (time-like geodesic) (ตรงนี้เราคิดว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดที่อนุภาคมวล \(m\) จะเคลื่อนที่แบบอิสระจาก A ไป C)
จีโอเดสิกระหว่างจุด A และ B นั้นคือ เส้นตรงที่วางตัว 45 องศา ซึ่งสำหรับกรณีนี้ส่วน \(-cdt^2\) และส่วน \(dx^2\) มีค่าเท่ากัน จึงหักล้างกันเป็นศูนย์ เรียกจีโอเดสิกนี้ว่า นูลจีโอเดสิก (null geodesic) (นูลจีโอเดสิกนั้นก็คือเส้นทางการเคลื่อนของแสง(อนุภาคไม่มีมวล)นั้นเอง)
ถึงตรงนี้หลายคนอาจถามว่าแล้วเส้นจีโอเดสิกของกรณีที่ปริภูมิไม่เรียบละเป็นไง ตัวอย่างเช่น ผิวทรงกลม(ค่าความโค้งง้อของผิวเป็นบวก) เราพบว่าจีโอเดสิกระหว่างจุด 2 จุดบนผิวทรงกลมนั้นคือส่วนของวงกลมใหญ่(ขอบวงกลมที่เกิดจากผ่าทรงกลมผ่านจุดศูนย์กลาง)
การพิสูจน์นั้นสามารถอ่านเพิ่มเติมได้จากหนังสือ แคลคูลัสของการแปรผันและการประยุกต์ในฟิสิกส์
หากใครพอมีเวลาแนะนำให้ไปอ่านบทความ เรขาคณิตเชิงไฮเปอร์โบลาและรูปร่างของจักรวาล ที่ผมเขียนไว้ก่อนหน้านี้อาจจะช่วยทำให้เข้าใจได้มากขึ้น
สมการสนามของไอน์สไตน์
อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ตีพิมพ์ผลงานชิ้นสำคัญ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป อธิบายธรรมชาติของกาลอวกาศทีมีสสารและพลังงานอยู่ผ่านสมการสนามไอน์สไตน์
\(G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\kappa T_{\mu\nu}\)
โดยที่ \(G_{\mu\nu}\) คือ ไอน์สตน์เทนเซอร์, \(\Lambda\) คือ ค่าคงที่ของจักรวาล, \(T_{\mu\nu}\) คือ ความเครียด-พลังงาน เทนเซอร์ และ
\(\kappa=\frac{8\pi G}{c^4}\)
คือ ค่าคงที่ความโน้มถ่วงของไอน์สไตน์ ทางด้านซ้ายของสมการสนามไอน์สไตน์บอกถึงความโค้งง้อของกาลอวกาศและทางด้านขวาบอกถึงสสาร-พลังงานที่บรรจุในกาลอวกาศ
นอกจากนั้นสมการที่สำคัญอีกอันคือ สมการจีโอเดสิก ซึ่งคือ เส้นตรงผิวโค้งง้อของกาลอวกาศสำหรับอนุภาคที่ตกอิสระภายใต้แรงโน้มถ่วง
\(\frac{d^2x^{\mu}}{ds^2}+\Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}\frac{dx^{\alpha}}{ds}\frac{dx^{\beta}}{ds}\)=0 \([x^\mu]=(-cdt\;dx\;dy\;dz)\)
โดยที่ \(s\) คือ พารามีเตอร์ เช่น พรอปเปอร์ไทม์ และ
\(\Gamma^{\beta}_{\alpha\nu}=\frac{1}{2}g^{\mu\beta}\left(\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}}+\frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}} -\frac{\partial g_{\alpha\nu}}{\partial x^{\mu}}\right)\)
สมการสนามไอน์สไตน์และจีโอเดสิกนั้นถือว่าเป็นส่วนประกอบสำคัญของทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์เพราะจะเป็นตัวบอกว่าวัตถุจะตกอย่างอิสระ(ตามเส้นจีโอเดสิก)อย่างไรผ่านกาลอวกาศที่บิดโค้ง ตรงนี้เรานึกถึงวัตถุมวล \(m\) ตกอิสระภายใต้ความโน้มถ่วงโลกก็ได้ครับ มุมมองของนิวตันนั้นคือ มีแรงบังคับให้มันเคลื่อนที่ลงมา แต่หากมองแบบไอน์สไตน์แล้วมวลนั้นเคลื่อนที่ตามจีโอเดสิกบนกาลอวกาศที่บิดโค้งเนื่องจากความโน้มถ่วงของโลก
ดังนั้นพระเอกของเราคือการหา \(g_{\mu\nu}\)
\([g_{\mu\nu}([x^\mu])]=\begin{pmatrix}g_{00} &g_{01} &g_{02} & g_{03} \\g_{10} &g_{11}&g_{12}^&g_{13} \\ g_{20}& g_{21} &g_{22}&g_{23}\\ g_{30}& g_{31} &g_{32}&g_{33}\end{pmatrix}\)
ซึ่งมีทั้งหมด 16 ตัว ! ประเด็นคือ สมการสนามของไอน์สไตน์นั้นเป็นสมการไม่เชิงเส้น (ในไอน์สไตน์เทนเซอร์นั้นมีส่วนประกอบ \(g_{\mu\nu},\partial g_{\mu\nu}/\partial x^\alpha,\partial^2 g_{\mu\nu}/\partial x^\alpha\partial x^\beta\)) ทำให้ยากในการแก้หาคำตอบ หากแต่เราแก้ได้ก็แทนลงไปในสมการจีโอเดสิก เราก็จะทำนายเส้นทางการเคลื่อนที่(เวิร์ลไลน์)ของอนุภาคได้ แต่นั้นละครับมันไม่ง่าย!
ชวาร์สชิลด์เมตริก
คาร์ล ชวาร์สชิลด์ ได้นำเสนอคำตอบของสมการสนามไอน์สไตน์สำหรับกรณีมวลทรงกลม (ไม่ได้คิดรวมประจุ หรือการหมุน อีกทั้งยังค่า cosmological constant เป็นศูนย์) ตามประวัติศาสตร์ชวาร์สชิลด์เจอคำตอบนี้เพียงเดือนกว่าๆ หลังจากที่ไอน์สไตน์ตีพิมพ์ทฤษฎีสัมพัทธภาพในปลายปี 1915 ซึ่งตีพิมพ์ในเดือนมกรคม 1916 หลังจากนั้นเขาก็จากไปเนื่องจากป่วยในสนามรบระหว่างสงครามโลกครั้งที่ 1
ในระบบพิกัดชวาร์สชิลด์ \((-cdt,r, \theta,\phi )\)(พิกัดอวกาศแบบทรงกลม) ชวาร์สชิลด์เมตริกเทนเซอร์
\(ds^2=-\left(1-\frac{r_s}{r} \right)c^2dt^2+\frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_s}{r} \right)}+r^2d\Omega^2\)
โดยที่ \(d\Omega=d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\) คือ เมตริกบนผิว \(S^2\) และ
\(r_s=\frac{2GM}{c^2}\) (ตรงนี้สอดคล้องกับสมการความเร็วหลุดพ้น)
ซึ่งเรียกว่า รัศมีชวาร์สชิลด์
จะเห็นได้ว่าเมตริกชวาร์สชิลด์นั้นเกิดภาวะเอกฐาน ณ ตำแหน่ง \(r=0\) ซึ่งบอกได้ว่าเป็นภาวะเอกฐานของกาลอวกาศที่แท้จริง(ณ จุดนี้ความบิดโค้งของกาลอวกาศนั้นเป็นอนันต์) อย่างไรก็ดี ณ ตำแหน่ง \(r=r_s\) นั้นเหมือนจะให้ภาวะเอกฐานเหมือนกัน (แต่ไม่ใช่ภาวะเอกฐานที่แท้จริงหากเป็นภาวะเอกฐานของระบบพิกัด) ณ ตำแหน่ง \(r=r_s\) นั้นเรียกว่า ขอบฟ้าเหตุการณ์ (ชื่อนี้มาที่หลัง)
เป็นที่เข้าใจกันว่า อะไรก็ตามที่เจ้าไปเกินเขตขอบฟ้าเหตุการณ์จะไม่สามารถกลับออกมาได้ แม้แต่แสง และเมื่อก้าวข้ามไปแล้วก็จะมุ่งหน้าสู่ภาวะเอกฐานอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้(ดูเพิ่มเติมได้จากภาคผนวก) การค้นพบของชวาร์สชิลด์นั้นอาจนับได้ว่าเป็นการเปิดตัวหลุมดำอย่างจริงจังตามการทำนายของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ (เข้าใจว่า ณ เวลานี้คำว่า หลุมดำ ยังไม่ได้รับการบัญญัติ)
ประเด็นที่่น่าสนใจคือ ณ เวลาที่ชวาร์สชิลด์และดรอส์เตนำเสนอเมตริกเทนเซอร์นั้น ภาวะเอกฐาน \(r=r_s\) นั้นยังเป็นสิ่งไม่เข้าใจของนักฟิสิกส์
เพื่อให้ง่ายต่อการทำความเข้าใจต่อไปเรากำหนดให้ \(c=1\) และ \(G=1\) ทำให้ \(r_s=2M\) และส่วนของทรงกลม \(d\Omega=d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2\) ในสมการหน่วยเส้นนั้นไม่ได้สำคัญต่อการวิเคราะห์ในตอนนี้ เราจึงขอละไปก่อน ดังนั้นเราเขียน \(ds^2\) ใหม่ได้เป็น
\(ds^2=-\left(1-\frac{r_s}{r} \right)c^2dt^2+\frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_s}{r} \right)}\)
เราพบว่ากำหนดให้ \(ds=0\) ดังนั้นเราจะได้เงื่อนไขสำหรับนูลจีโอเดสิก
\(\frac{dt}{dr}=\pm \frac{1}{(1-\frac{r_s}{r})}\) (มองว่ามันคือ ความชัน)
หากทำการอินทีเกรทจะได้
\(t=\pm r_s\ln\mid r-r_s\mid+C\)
จะให้กราฟ 2 แบบออกมา
สมการด้านบนบอกถึงโครงสร้างของกรายแสงนะตำแหน่งต่างๆบนกาลอวกาศ
กรณีที่ \(r\rightarrow \infty\) ค่า \(\frac{dt}{dr}\rightarrow \pm 1\) โครงสร้างกรวยแสงปกติ(ทำมุม 45 องศา) ดังนั้นสำหรับค่า \(r\) โตๆ กาลอวกาศประมาณว่าเป็นกาลอวกาศแบนเรียบ(สามารถใช้แผนภูมิมินคอฟสกีได้)
กรณีที่ \(r=r_s\) ค่า \(\frac{dt}{dr}\rightarrow \pm \infty\) ความชัดของกรวยแสงมีค่าอนันต์ ณ ตำแหน่งนี้เกิดปัญหาโครงสร้างความเป็นเหตุเป็นผลไม่นิยาม
กรณีที่ \(r<r_s\) ค่า \(\frac{dt}{dr}=\mp \frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\) เกิดการสลับเครื่องหมาย ส่งผลให้เกิดการสลับระหว่างเวลาและ \(r\) โครงสร้างกรวยแสงจะวางตัวตามแนวระดับแทน
สิ่งหนึ่งที่เป็นลักษณะสำคัญของหลุมดำคือ เมื่อข้ามเข้าขอบฟ้าเหตุการณ์จะเห็นได้ว่ากรวยแสงนั้นชี้เข้าไปหายังภาวะเอกฐาน ณ \(r=0\) ดังนั้น เมื่อข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์เข้าไปแล้วเราจะมุ่งหน้าอย่างเดียวไปยังภาวะเอกฐานแบบไม่มีทางเลือก
ชวาร์สชิลด์เมตริกในร่างใหม่
ตอนนี้เรานิยามตัวแปร \(v=t+r+r_s\ln\mid \frac{r}{r_s}-1\mid\) ทำให้ \(ds^2\) เขียนได้เป็น
\(ds^2=-\left( 1-\frac{r_s}{r}\right)dv^2+2dvdr\)
จะได้ว่าภาวะเอกฐาน ณ \(r=r_s\) นั้นหายไปแล้ว!! สำหรับนูลจีโอเดสิก
\(\frac{dv}{dr}=2+\frac{2r_s}{r-r_s}\)
เมื่อทำการอินทีเกรทจะได้
\(v=+2r+2r_s\ln\mid r-r_s\mid +C\)
จะให้กราฟแบบเดียวออกมา
ทั้งนี้เรานิยามอีกตัวแปร \(\tilde t=v-r\) ทำให้แผนภาพกาลอวกาศออกมาเป็น
พิกัดใหม่นี้เรียกว่า พิกัด เอดดิงตัน-ฟินเกลสไตน์ สิ่งที่เห็นได้คือ ภาวะเอกฐาน ณ \(r=r_s\) นั้นหายไปแล้ว และกรวยแสงวางพาดผ่านแนว \(r=r_s\) แล้วเริ่มเอียงเข้าไปยังภาวะเอกฐาน \(r=0\)
ชวาร์สชิลด์เมตริกในร่างที่ใหม่ขึ้น
หากตอนนี้เรานิยาม
\(dr^2_\ast=\frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}\)
ซึ่งยังให้ได้ความสัมพันธ์
\(r_\ast=r+r_s\ln\mid \frac{r}{r_s}-1\mid\) โดย \(r>r_s\)
จึงทำให้เราเขียน \(ds^2\) ได้เป็น
\(ds^2=\left( 1-\frac{r_s}{r}\right)\left(dt^2-dr^2_\ast\right)\)
หากเรานิยามชุดตัวแปรใหม่ \(u=t-r_\ast\) และ \(v=t+r_\ast\) จะทำให้ \(ds^2\) ลดรูปเป็น
\(ds^2=\left( 1-\frac{r_s}{r(u,v)}\right)dudv\)
ซึ่งภายใต้การแปลง \(r=r(u,v)\) จากชุดตัวแปร \((u,v)\) เราจะได้ว่า
\(\frac{1}{2}(v-u)=r(u,v)+r_s\ln\mid \frac{r(u,v)}{r_s}-1\mid\)
กรณีที่ \(r\rightarrow r_s\) พจน์ \(r_s\ln\mid \frac{r(u,v)}{r_s}-1\mid\rightarrow -\infty\) ดังนั้น \(\frac{1}{2}(v-u)\rightarrow -\infty\) ด้วย(ทั้งนี้เราละพจน์ \(r\)) นอกจากนั้นที่ลิมิตที่พิจารณาข้างต้นเราจะได้ความสัมพันธ์
\(\left( 1-\frac{r_s}{r}\right)\approx e^{\frac{v-u}{2r_s}}\)
ดังนั้น
\(ds^2=e^{\frac{v-u}{2r_s}}dudv=dUdV\)
โดยที่ \(dU=e^{-\frac{u}{2r_s}}du\) และ \(dV=e^{+\frac{v}{2r_s}}dv\) และแน่นอนว่าเราทำการอินทีเกรทจะได้
\(U=-2r_se^{-\frac{u}{2r_s}}\) และ \(V=+2r_se^{+\frac{v}{2r_s}}\)
เราจะเห็นได้ว่าภายใต้ชุดตัวแปรใหม่ \((U,V)\) นั้นกาลอวกาศนั้นแบนเรียบ ! เมื่อ \(r\rightarrow r_s\)
จากการแปลงชุดตัวแปรข้างต้น ณ ลิมิต \(r\rightarrow r_s\) ทำให้เล็งเห็นว่าเราสามารถสร้างชุดตัวแปรใหม่ได้เป็น
\(U=-2r_se^{-\frac{t-r_\ast}{2r_s}}=-2r_s e^{-\frac{t-r}{2r_s}}\mid \frac{r}{r_s}-1\mid^{1/2}\)
และ
\(V=+2r_se^{+\frac{t+r_\ast}{2r_s}}=+2r_s e^{+\frac{t+r}{2r_s}}\mid \frac{r}{r_s}-1\mid^{1/2}\)
และเขียน \(ds^2\) ได้เป็น
\(ds^2=\frac{r_s}{r(U,V)}e^{-\frac{r(U,V)}{r_s}}dUdV\)
พร้อมกับสมการ
\(\mid\frac{r(U,V)}{r_s}-1 \mid e^{\frac{r(U,V)}{r_s}}=-\frac{UV}{2r_s}\) (เอา \(U\) และ \(V\) มาคูณกัน)
ซึ่งคือ สมการไฮเปอร์โบลาที่สามารถปรับค่า \(r\) ได้ และอีกสมการคือ
\(\frac{U}{V}=e^{\frac{t}{r_s}}\) (เอา \(U\) และ \(V\) มาหารกัน)
ซึ่งคือ สมการเส้นตรงที่สามารถปรับค่า \(t\) ได้
ในขั้นสุดท้ายเราเลือกเขียนการแปลงระหว่าง \((U,V)\) และ \((t,r)\) แบบพิกัดกรวยแสง \(U=t-r\) และ \(V=t+r\) ดังนั้น นูลจีโอเดสิกคือ \(dU=0\rightarrow dt=dr\) และ \(V=0\rightarrow dt=-dr\) ทำให้ตอนนี้เราสร้างแผนภาพกาลอวกาศของหลุมดำชวาร์สชิลด์ได้เป็น
แผนภาพด้านบนรู้จักกันดีในชื่อ แผนภาพกาลอวกาศ Kruskal-Szekeres
เราเรียนรู้อะไรเกี่ยวกับหลุมดำชวาร์สชิลด์จากแผนภาพกาลอวกาศ Kruskal-Szekeres แน่นอนว่าเรามีเส้นปะ \(U=0\) และ \(V=0\) แบ่งกาลอวกาศออกเป็น 4 ส่วน ในส่วน 1 นั้นสามารถพิจารณาว่าเป็นจักรวาลด้านนอกหลุมดำ ที่เวลาเริ่มจากด้านล่างส่วนอดีตอันไกลโพ้น \(t=-\infty\) มายัง ณ ตำแหน่งปัจจุบัน \(t=0\) และไปยังอนาคตอันไกลโพ้น \(t=+\infty\) ในส่วนที่ 2 นั้นคือ หลุมดำ โดยมีเส้นขอบฟ้าเหตุการณ์เป็นเส้นแบ่งขอบเขตกับบริเวณภายนอก หากเรามีเส้นเวิร์ลไลน์ของอนุภาคมวล \(m\) เคลื่อนมาจากอดีตไปยังอนาคต เส้นเวิร์ลไลน์มีได้ 2 แบบคือ เวิร์ลไลน์ของอนุภาคที่วิ่งผ่านรอบหลุมดำ กับเวิร์ลไลน์ที่วิ่งข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์เข้าไปและไปเจอจุดจบที่ภาวะเอกฐานของหลุมดำ สิ่งที่สำคัญคือ เมื่ออนุภาคหรือผู้สังเกตข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์เข้าไป ไม่มีทางออกมาได้ ตรงนี้ดูได้จากโครงสร้างกรวยแสงด้านในหลุมดำที่พุ่งไปหาภาวะเอกฐานอย่างเดียว
บริเวณที่ 4 นั้นมองได้ว่าเป็น หลุมขาว เพราะเส้นเวิร์ลไลน์จะออกมาจากบริเวณนั้นไปยังจักรวาล(หรือจักรวาลคู่สะท้อน ในบริเวณ 3)อย่างเดียว ทั้งนี้จักรวาลและจักรวาลคู่สะท้อนนั้นแยกจากกันแบบเด็ดขาด หรือพูดได้ว่าสื่อสารกันไม่ได้ หากต้องการเดินทางจากจักรวาลไปยังจักรวาลคู่สะท้อนต้องใช้ความเร็วมากกว่าแสง(ตรงนี้คิดง่ายๆได้ว่าหากเราเดินมาเส้น \(t=0\) ซึ่งระยะระหว่าง 2 จุดใดๆบนเส้นนั้นเป็นแบบ สเปซไลค์)
เพนโรสทำให้เราเข้าใจหลุมดำผ่านภาษาคณิตศาสตร์
แผนภาพเพนโรส ในปี 1963 เพนโรส ได้นำเสนอแผนภาพหลุมดำแบบใหม่ในงานตีพิมพ์ Asymptotic Properties of Fields and Space-Times ในวารสาร Physical Review Letters, 10, 66 แนวคิดคือ เพนโรสนำเสนอการแปลงแผนภาพกาลอวกาศจากที่จะต้องพิจารณาอาณาบริเวณอนันต์ให้กลายเป็นแผนภาพที่มีขนาดจำกัด(เก็บผลของอนันต์เอาไว้ที่ขอบ) โดยเงื่อนไขการแปลงต้องคอนฟอมัล(มุมของเส้นที่ตัดกันไม่เปลี่ยนภายใต้การแปลง) ซึ่งตัวเพนโรสเรียกแผนภาพนี้ว่า แผนภาพคอนฟอมัล เหตุผลที่ต้องการสมบัติคอนฟอมัลนั้นเพราะเราต้องให้โครงสร้างกรวยแสงนั้นไม่แปรเปลี่ยนหรือกล่าวได้ว่าเราต้องการโครงสร้างเหตุและผลยังเป็นจริงภายใต้การแปลง
ตอนนี้เรามาพิจารณาแผนภาพเพนโรสสำหรับแผนภาพกาลอวกาศมินคอฟสกีกันก่อนนะครับ เรียกความสัมพันธ์ \(ds^2=c^tdt^2-dx^2\) ปล ขอสลับเครื่องหมาย
จากนั้นเรานิยามการแปลง \((t,x)\in (-\infty,\infty)\mapsto (\phi,\xi)\in[-\pi,\pi]\) ดังนี้
\(t\pm x=\tan\left( \frac{\phi\pm \xi}{2}\right)\)
ทำให้ \(ds^2\) ถูกเขียนใหม่เป็น
\(ds^2=\frac{1}{\left[ 2\cos\left(\frac{\phi+\xi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi-\xi}{2}\right)\right]}\left(d\phi^2-d\xi^2\right)^2\)
สำหรับนูลจีโอเดสิก \(ds=0\) เราได้ \(d\phi/d\xi=0\) อย่างที่เราต้องการให้โครงสร้างกรวยแสงยังคงรูปอยู่
ตรงนี้เรามองแบบง่ายๆได้ว่า แผนภาพเพนโรส เกิดจากการที่บีบด้านอนาคตอันไกลโพ้นไปเป็นจุด \(I^+\) บีบด้านอดีตอันไกลโพ้นไปเป็นจุด \(I^-\) และทำนองเดียวกันสำหรับตำแหน่งอันไกลโพ้นจะโดนบีบไปเป็นจุด \(I^0\) การแปลงนี้จะส่งผลต่อรูปร่างการแบ่งช่องแต่ไม่ส่งผลต่อเส้นทางเดินของแสงอย่างที่ได้กล่าวไปแล้ว
ตอนนี้เรากลับไปพิจารณาแผนภาพกาลอวกาศ Kruskal-Szekeres ซึ่งมีความใกล้เคียงกับแผนภาพกาลอวกาศมินคอฟสกี เมื่อเราทำการแปลงเพื่อสร้างแผนภาพเพนโรส(เราทำในทำนองเดียวกับก่อนหน้านี้แต่มีรายละเอียดเพิ่มนิดหน่อย) จะทำให้เราได้
เราจะเห็นได้ว่ามีพื้นที่ที่ไม่อนุญาติ คือ หลังจากภาวะเอกฐาน เราจำเป็นต้องตัดออกจากแผนภาพ(เพราะภาวะเอกฐานคือที่สุด เราไม่รู้ว่ามีอะไรอยู่เหนือไปจากนั้น) จะได้
เราจะเห็นว่าโครงสร้างทุกอย่างที่เรามีในแผนภาพกาลอวกาศ Kruskal-Szekeres นั้นถูกโยกมายังแผนภาพหลุมดำชวาร์สชิลด์ของเพนโรสหมดและแน่นอนว่าแผนภาพนี้กระทัดรัดกว่าเยอะ !
ประเด็นแรกคือ แผนภาพเพนโรสด้านบนสำหรับหลุมดำชวาร์สชิลด์หรือหลุมดำตลอดกาล และสิ่งที่เราต้องการแค่บริเวณจักรวาลและหลุมดำเท่านั้น ส่วนหลุมขาวและจักรวาลคู่สะท้อนไม่ได้เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับเรา(ทั้งนี้จักรวาลและจักรวาลคู่สะท้อนเชื่อมโยงกันดวยรูหนอนหรือสะพานไอน์สไตน์-โรเซน ลองอ่านเพิ่มเติมเองได้)
ประเด็นสองคือ สำหรับหลุมดำที่เกิดจากการยุบตัวของดาวกฤษ์ทีหมดเชื่อเพลิงแล้วนั้นแผนภาพกาลอวกาศเพนโรสจะเป็นอีกแบบดังรูปด้านล่าง(ตรงไม่ขอลงรายละเอียด)
ทฤษฎีภาวะเอกฐานของเพนโรส
หลังจากที่ชวาร์สชิลด์นำเสนอคำตอบอย่างง่ายสำหรับสมการสนามของไอน์สไตน์ โดยมีพื้นฐานบนสมมาตรทางกลม ต่อมาไม่นนาน โรเบิร์ต โอเพนไฮเมอร์ กับลูกศิษน์ของเขา ฮาร์ทแลนด์ ชไนเดอร์ ได้ศึกษาต่อยอดและค้นพบเงื่อนไขการยุบตัวของดาวกฤษ์ไปเป็นหลุมดำ แต่ก็ยังอยู่บนสมมติฐานสมมาตรทรงกลม อย่างไรก็ดีหลุมดำไม่ได้เป็นเรื่องที่โอเพนไฮเมอร์สนใจเป็นหลักเขาเลยไม่ได้สนใจจะทำอะไรต่อและเปลี่ยนไปทำอย่างอื่น หลังจากนั้นกลุ่มนักฟิสิกส์สหภาพโซเวียต ได้แก่ ไอแซก คัลลัทนิคิฟ และ ยูเกนี ลิฟชิทซ์ ได้นำเสนองานว่า ความไม่สามาตรจะส่งผลทำให้ไม่เกิดการยุบตัวไปเป็นหลุมดำ ทั้งคู่ได้นำเสนองานของพวกเขาในงานประชุมวิชาการทฤษฎีสัมพัทธภาพและจักรวาลวิทยาที่ลอนดอนปี 1965 ซึ่งหนึ่งในผู้ร่วมงานก็คือ เพนโรส ซึ่งขณะนั้นตัวเพนโรสได้นำเสนอทฤษฎีบทภาวะเอกฐานว่ายังไงหลุมดำก็ต้องเกิดแบบหลีกเลี่ยงไม่ได้ ต่อมาคัลลัทนิคิฟและลิฟชิทซ์ ได้ศึกษาเพิ่มเติมกับลูกศิษย์ของพวกเขา วาดิเมีย เบลินสกี และเจอความคลาดเคลื่อนในการคำนวณของพวกเขา หลักจากแก้แล้วก็ได้ข้อสรุปแบบเดียวกับที่เพนโรสนำเสนอว่าภาวะเอกฐานต้องเกิดขึ้นสำหรับการยุบตัวของดาวกฤษ์ที่ใหญ่มากๆๆ
ตอนนี้เรามาดูเพิ่มเติมสำหรับทฤษฎีภาวะเอกฐานของเพนโรสกันครับ
Theorem: If the space-time contains a non-compact Cauchy hypersurface Σ and a closed future-trapped surface, and if the convergence condition \(R_{\rho\nu}u^\rho u^\nu\) holds for null \(u^\nu\), then there are future incomplete null geodesics.
เพื่อให้ง่ายต่อการความเข้าใจ เรามองว่ากาลอวกาศนั้นเป็นแมนิโฟลด์ที่มีเมตริกเทนเซอร์นิยามอยู่ทุกจุด \((\mathcal M, g_{\mu\nu})\) เมื่อไรก็ตามที่แมนิโฟลด์เป็นไปตามเงื่อนไข
อีกประเด็นเราอาจมองได้ว่าขอบแผ่นชีท(เทียบได้กับขอบกาลอวกาศ)นั้นเป็นภาวะเอกฐานก็ได้เพราะเมื่อเราขยายเส้นจีโอเดสิกจนถึงขอบก็ไปต่อไม่ได้(แน่นอนว่าข้ามจากขอบไปก็ไม่มีกาลอวกาศ)
สรุปง่ายๆ ว่าเมื่อไรก็ตามที่สสารกระจุกตัวกันจนเกิดขอบฟ้าเหตุการณ์ ภายในขอบฟ้าเหตุกาณ์นั้นต้องมีภาวะเอกฐาน โดยวัตถุที่เพนโรสนิยามขึ้นมาคือ ผิวกักขังแบบปิด และขอบของผิวกักขังที่ประสานกัน(จนปิด)คือ ขอบฟ้าเหตุการณ์ ทั้งนี้มองง่ายๆเจ้าผิวกักขังนั้นก็คือ ผิวแสงพุ่งออกแล้วจะไปรวมตัวที่จุดโฟกัส(ตรงนี้เกี่ยวข้องกับงานของ Raychaudhuri) ไม่สามารถย้อนกลับออกมาจากผิวได้
เพนโรสแสดงแนวการพิสูจน์แบบชัดแย้งสำหรับข้อสังเกตข้างต้นที่ว่า สำหรับนูลจีโอเดสิกที่ออกจากผิวกักขังนั้นต้องไปจบที่จุดโฟกัสและไม่สามารถต่อไปได้อีก หรือมองอีกนัยหนึ่งคือ กาลอวกาศจบที่สุดโฟกัสนี้ สำหรับการพิสูจน์เป็นไปตามรูปด้านล่างนี้
ในรูป (ก) สมมุติให้มีนูลจีโอเดสิก 2 เส้นออกจาก A และวิ่งไปจบที่จุด B เราจะพบว่าระยะทาง(สั้นที่สุด) AB(ซ้าย)=AB(ขวา)
ในรูป (ข) หากอนุญาติให้เส้นนูลจีโอเดสิกเลยไปได้ถึง C เงื่อนไขระยะทาง(สั้นที่สุด) ABC(ซ้าย)=ABC(ขวา) ก็ยังเท่ากัน
ในรูป (ค) เราพบว่าหากเราทำการปรับเส้นทางตรงจุด B นิดหน่อย(ดังเส้นสีดำ) เราจะได้ระยะทาง ABC ที่สั้นกว่าในรูป (ข)
ตรงนี้จะเห็นได้ถึงข้อขัดแย้งเพราะเราควรจะได้เส้นทางที่สั้นที่สุดแล้วตั้งแต่ในรูป (ข) แต่ว่าในรูป (ค) กลับได้เส้นทางที่สั้นกว่า ดังนั้น นูลจีโอเดสิกจำเป็นต้องจบที่จุดโฟกัส(จุด B) นั้นเอง
หลังจากที่เพนโรสนำเสนอทฤษฎีภาวะเอกฐานไม่นาน สตีเฟน ฮอร์คิง ก็เข้ามาต่อยอดช่วยกันคิด และเสนอว่า จักรวาลเราวิวัฒน์มาจากการระเบิดออกจากภาวะเอกฐาน หรือ ที่รู้จักกันในชื่อ บิ๊กแบง
เอาละครับ เราเดินทางมาพอสมควรกับเรื่องราวของหลุมดำและคิดว่าผู้อ่านน่าจะพอเห็นภาพได้ไม่มากก็น้อย แน่นอนว่าตัวทฤษฎีภาวะเอกฐานนั้นยากต่อการอธิบายเพราะมีคำศัพย์เฉพาะทางมากมาย ผมเลยพยายามเขียนให้มันเข้าใจง่าย(อย่างที่ผมเข้าใจ) สิ่งหนึ่งที่เราได้เรียนรู้คือ คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือที่สำคัญมากๆสำหรับนักฟิสิกส์ในการทำความเข้าใจธรรมชาติ (จริงๆอีกตัวอย่างที่สำคัญในประวัติศาสตร์ฟิสิกส์คือ ดิแรก เขาก็ใช้คณิตศาตร์นำการทดลองและเสนอว่า ต้องมีปฎิอนุภาค) ปัจจุบันเรานักฟิสิกส์ก็ยังใช้เครื่องมือที่เรียกว่า คณิตศาสตร์ในการทำความเข้าใจธรรมชาติอยู่อย่างต่อเนื่อง และยังคงต้องใช้ต่อไปในอนาคต
ฝากให้ฟังสัมภาษณ์เพนโรสด้วยนะครับ ฟังเพลินๆ
จบ
เขียนลงเมื่อวันที่ 14 ตุลาคม 2563 สถานะการณ์โควิดทั่วโลกยังไม่ดีขึ้น ประเทศไทยควบคุมได้ พม่าเริ่มรุนแรงขึ้นอย่างมาก
หลุมดำ(กับไทม์ไลน์อย่างคราวๆ)
ปี 1783 นักวิทยาศาสตร์ชาวอังกฤษ จอห์น มิทเชล ได้เขียนจดหมายถึง คาเวนดิช ซึ่งส่วนจดหมายนี้ตีพิมพ์ในเอกสารของราชสมาคม ซึ่งเขาได้ใช้ทฤษฎีแรงโน้มถ่วงของนิวตันและแนวคิดที่แสงประกอบไปด้วยอนุภาคของนิวตัน เขาสามารถคำนวณหาความเร็วหลุดพ้นของดาวที่มีมวล \(M\) ได้
\(v_e=\sqrt{\frac{2GM}{r}}\)
โดยที่ \(G=6.67\times 10^{-11}\;\;m^3kg^{-1}s^{-2}\) คือ ค่าความโน้มถ่วงสากล \(r\) คือ ระยะทางจากจุดศูนย์กลางมวลถึงวัตถุ มิทเชลพบว่าหากมวลของดาวมีขนาดมากพอ ความเร็วหลุดพ้นนั้นสามารถมีค่าเท่ากับความเร็วแสงหรือมากกว่า เขาจึงสรุปว่า
“If the semi-diameter of a sphere of the same density as the Sun in the proportion of five hundred to one, and by supposing light to be attracted by the same force in proportion to its [mass] with other bodies, all light emitted from such a body would be made to return towards it, by its own proper gravity.”
ในเมื่อแม้กระทั่งแสงยังไม่สามารถหนีออกมาได้ ทำให้มันไม่สามารถมองเห็นได้ มิทเชลจึงเรียกดาวลักษณะนี้ว่า ดาวมืด
อย่างไรก็ดีจากการที่เรามีความเข้าใจว่าแสงนั้นคือ คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า ในราวปี 1801 (ตรงนี้คิดว่าน่าจะเป็นงานของ ทอมมัส ยัง) ทำให้เกิดคำถามว่าแสงนั้นจะได้รับผลของแรงโน้มถ่วงอย่างไรตามแนวคิดของนิวตัน (ตรงนี้เหมือนธรรมชาติของแสงนั้นสร้างปัญหา แต่ในอีกร้อยกว่าปีข้างหน้า ไอน์สไตน์ ก็ใช้แสงสร้างทฤษฎีผลของความโน้มถ่วงที่มีต่อสสารและตัวของแสงเองผ่านเรขาคณิต)
ปี 1796 ไซมอน ปิแอร์ ลาปลาซ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้นำเสนอแนวคิดเดียวกันกับมิทเชลในหนังสือ Exposition du Système du Monde ใจความว่า
“It is therefore possible that the greatest luminous bodies in the universe are on this account invisible.”
ปี 1915 อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ตีพิมพ์ผลงานชิ้นสำคัญ ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป อธิบายธรรมชาติของกาลอวกาศทีมีสสารอยู่ผ่านสมการสนามไอน์สไตน์
ปี 1916 คาร์ล ชวาร์สชิลด์ ได้นำเสนอคำตอบของสมการสนามไอน์สไตน์อธิบายกาลอวกาศรอบๆมวลทรงกลม (ไม่ได้คิดรวมประจุ หรือการหมุน อีกทั้งยังค่า cosmological constant เป็นศูนย์) ตามประวัติศาสตร์ชวาร์สชิลด์เจอคำตอบนี้เพียงเดือนกว่าๆ หลังจากที่ไอน์สไตน์ตีพิมพ์ทฤษฎีสัมพัทธภาพในปลายปี 1915 ซึ่งตีพิมพ์ในเดือนมกรคม 1916 หลังจากนั้นเขาก็จากไปเนื่องจากป่วยในสนามรบระหว่างสงครามโลกครั้งที่ 1
ในปีเดียวกัน โจฮานเนียส ดรอส์เต ได้ทำการเสนอคำตอบแบบเดี่ยวกันกำคำตอบของชวาร์สชิลด์ โดยการใช้เทคนิคที่ตรงไปตรงมาอีกทั้งง่ายกว่า
ปี 1924 เซอร์ อาร์เธอร์ เอดดิงตัน แสดงให้เห็นว่าภาวะเอกฐาน ณ \(r=r_s\) หายไปหากเลือกระบบพิกัดที่เหมาะสม ดูเพิ่มเติมได้ตามลิงค์นี้
ปี 1933 ณอร์ณ เลอแม็ทร์ พบว่าภาวะเอกฐาน ณ \(r=r_s\) ไม่ได้เป็นภาวะเอกฐานที่แท้จริงเหมือน ณ \(r=0\) (ภาวะเอกฐานนี้ไม่หายไปภายใต้การแปลงระบบพิกัด) หากแต่เป็นภาวะเอกฐานของระบบพิกัด ซึ่งจะหายไปหากเลือกระบบพิกัดที่เหมาะสมอย่างที่เอดดิงตันนำเสนอไป
ปี 1931 สุพรหมัณยัน จันทรเศขร ได้ทำการศึกษาดาวแคระขาวซึ่งมีมวลมากกว่า \(1.4\) เท่าของดวงอาทิตย์ ผลเฉลยนั้นจะไม่เสถียรหรือกล่าวได้ว่าดาวฤกษ์ที่เข้าสู้สภาวะสุดท้ายจะยุบตัวต่อลงไปอย่างต่อเนื่อง รู้จักกันในชื่อ ขีดจำกัดจันทรเศขร ณ ตอนที่จันทรเศขรเสนอแนวคิดนั้นก็ได้มีข้อโต้แย้งจากเอดดิงตันและแลนเดาว่าน่าจะมีกระบวนการบ้างอย่างมาหยุดกระบวนการยุบตัว แน่นอนว่าดาวเคราะขาวนั้นยุบตัวลงไปเป็นดาวนิวตรอนซึ่งคงตัวอยู่ได้
ปี 1939 โรเบิร์ต โอเพนไฮเมอร์ กับนักฟิสิกส์อีกหลายคน พบว่าดาวนิวตรอนหากมีมวลมากกว่าขีดจำกัดอีกอันที่ต่อมาเรียกว่า ขีดจำกัด โอเพนไฮเมอร์-ทอลแมน-เวอร์คอฟ จะหยุบตัวต่อไปด้วยกระบวนที่จันทรเศขรเสนอเอาไว้และไม่มีกระบวนการใดมาต่อต้านได้ นอกจากนั้นโอเพนไฮเมอร์และเพื่อร่วมงานตีความต่อว่า ภาวะเอกฐาน \(r=r_s\) เป็นขอบฟองสบู่ที่เวลาหยุดนิ่ง (อย่างไรก็ดีแนวคิดนี้เป็นจริงเฉพาะผู้สังเกตภายนอกหลุมดำ แต่ไม่เป็นจริงสำหรับผู้สังเกตที่ตกเข้าไปในหลุมดำ อ่านเพิ่มที่ภาคผนวก)
ปี 1958 เดวิด ฟินเกลสไตน์ ได้เสนอผิวชวาร์สชิลด์เป็น ขอบฟ้าเหตุการณ์ ซึ่งเป็นผิวที่มีทิศทางเข้าอย่างเดียวไม่มีทางออก การค้นพบของฟินเกลสไตน์ทำให้เราเข้าใจอนาคตของผู้สังเกตที่ข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์เข้าไป ทำให้ตอนนี้เรามีภาพที่สมบูรณ์มากขึ้นระหว่างผู้สังเกตที่อยู่ภายนอกหลุมดำที่สังเกตวัตถุเข้าใกล้ขอบฟ้าเหตุการณ์ และผู้สังเกตที่ข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์ไปพร้อมวัตถุ
ปี 1960 มาติน ครุสคัล ได้ขยายแนวคิดต่อยอดของฟินเกลสไตน์และทำให้งานสมบูรณ์มากขึ้น
หลังจากนี้ถือได้ว่าเป็นยุคทองของทฤษฎีสัมพัทธภาพ คำตอบของสมการสนามในรูปแบบอื่นๆ เช่น หลุมดำที่มีประจุ หรือหลุมดำที่หมุนได้ถูกนำเสนอ(รายละเอียดตรงนี้ขอข้าม ผู้อ่านสามารถอ่านเพิ่มเติมเอาเอง เพราะโพสนี้สนใจเฉพาะกรณีหลุมดำของชวาร์สชิลด์)
ปี 1964 โรเจอร์ เพนโรส แสดงให้เห็นเชิงคณิตศาสตร์ว่าหากเกิดขอบฟ้าเหตุการณ์ ย่อมต้องมีภาวะเอกฐาน(งานนี้ทำให้เพนโรสได้รางวัลโนเบลปี 2020)
ปี 1967 อย่างไรก็ตามหลุมดำหรือดาวนิวตรอนนั้นถูกพิจารณาว่าเป็นผลของคณิตศาตร์ ไม่น่ามีอยู่จริง จนกระทั้งมีการสังเกตเห็น พัลซาร์ โดย เบลล์ เบอร์เนล
ปี 1969 เจ้าพัลซาร์นั้นแท้จริงแล้วคือ ดาวนิวตรอนที่หมุนอย่างเร็ว ด้วยเหตุนี้นักฟิสิกส์เลยกลับมาสนใจการยุบตัวของวัตถุกะทะรัดภายใต้ความโน้มถ่วงแบบต่างๆ ว่าอาจจะมีอยู่จริง
ปี 1967 เวอร์เนอร์ อิสราเอล นำเสนอบทพิสูจน์ ทฤษฎีบทไม่มีผม (no-hair theorem) สำหรับหลุมดำชวาร์สชิลด์ ณ King’s Collage London หลังจากนั้นแนวคิดถูกขยายไปสำหรับหลุมดำที่มีประจุและหมุน ใจความของทฤษฎีบทนี้คือ หลุมดำนนั้นมีสมบัติ 3 อย่าง ได้แก่ มวล ประจุ และ โมเมนตัมเชิงมุม สำหรับผู้สังเกตภายนอก อะไรก็ตามที่ตกเข้าไปในหลุมดำจะหายไปจากผู้สังเกตภายนอก หรือ หลุมดำ 2 หลุมขนาดเท่ากันเกิดมาจากสสารที่แตกต่างกันเราก็ไม่สามารถแยกความแตกต่างกันสำหรับผู้สังเกตภายนอกขอบฟ้าเหตุการณ์ จอห์น วีลเลอร์ ได้เคยกล่าวถึงลักษณะอันแปลกประหลาดของหลุมดำนี้ว่า “black hole have no hair”
ปี 1967 จอห์น วีลเลอร์ ได้ใช้คำว่า หลุมดำ อย่างเป็นทางการในการสอนของเขาสำหรับงาน American Association for the Advancement of Science
ปี 1972 จาคอป แบกเคนสไตน์ เสนอว่าหลุมดำมี เอนโทรปี แปรผันตรงกับพื้นที่ผิว หลุมดำต้องแผ่รังสี(แต่กระบวนการแผ่รังสียังไม่เข้าใจ อีกทั้งค่าคงที่ที่คูณกับพื้นที่ผิวนั้นยังไม่ถูกต้อง)
ปี 1974 สตีเฟน ฮอร์คิง แสดงให้เห็นถึงกลไกลการแผ่รังสีของหลุมดำโดยการผนวกผลควอนตัมเข้าไป พฤติกรรมการแผ่รังสีของหลุมดำนั้นเหมือนกับการแผ่รังสีของวัตถุดำและสิ่งที่สำคัญคือ สุดท้ายหลุมดำจะระเหิดหายไป ทำให้เกิดปัญหาความขัดแย้งของข้อมูลของสสารที่ตกเข้าไปในหลุมดำนั้นจะหายไปจากผู้สังเกตด้านนอกตลอดการ
ปี 2004 สตีเฟน ฮอร์คิง ยอมรับว่า ข้อมูลสามารถกลับออกมาจากหลุมดำได้ผ่านแนวคิด AdS/CFT ทำให้เขาต้องแพ้พนันเพื่อนนักฟิสิกส์
ปี 2004 ลีโอนาร์ด สัสกินด์ เสนอว่าสำหรับผู้สังเกตภายนอกข้อมูลในหลุมดำของสสารที่ตกเข้าไปในหลุมดำนั้นถูกฉาบไว้บนผิวหลุมดำ และจะกลับออกมาพร้อมกับรังสีของหลุมดำ สำหรับผู้สังเกตที่ตกข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์เข้าไปพร้อมกับสสารจะเห็นข้อมูลนั้นกักอยู่ในหลุมดำ ดูเหมือนกับว่าเราจะมี 2 ชุดข้อมูลทำให้คิดได้ว่า หลุมดำทำตัวเป็นเครื่องซีร๊อกซ์ควอนตัม แต่เนื่องจากผู้สังเกตทั้ง 2 นั้นสื่อสารกันไม่ได้จึงทำการเปรียบเทียบข้อมูลกันไม่ได้ จึงไม่มีปัญหา เรียกว่าแนวคิดนี้ว่า complementarity แนวคิดนี้จึงเรียกว่า Black hole complementarity ทั้งนี้แนวคิดนี้ต้องการสิ่งที่เรียกว่า holographic principle
ปี 2012 ปัญหากำแพงไฟ กลุ่มนักฟิสิกส์ AMPS เสนอว่า black hole complementarity นั้นสร้างเงื่อนไขที่ขัดแย้งกันเองสำหรับผู้สังเกตภายนอกและผูัสังเกตที่ข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์เข้าไป ทางกลุ่มเสนอว่าหากข้อมูลสามารถหนีออกจากหลุมดำได้จะทำให้เกิดปัญหากำแพงไฟ ณ ขอบฟ้าเหตุการณ์ สร้างปัญหาอันใหญ่หลวงให้กับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปอย่างมาก เพราะสำหรับทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปแล้วขอบฟ้าเหตุการณ์นั้นไม่ได้มีอะไรพิเศษ ผู้สังเหตุจะไม่รู้ตัวว่ากำลังข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์หากแต่ข้ามแล้วกลับไม่ได้ เรียกว่า no drama หากแต่มีกำลังไฟแล้วผู้สังเกตที่กำลังเคลื่อนที่ข้ามขอบฟ้าเหตุการณ์จะถูกเผา เกิด drama การมีกำแพงไฟนั้นเหมือนจะบอกว่ากาลอวกาศนั้นจบที่ขอบฟ้าเหตุการณ์(เพราะไม่มีอะไรก้าวข้ามกำแพงไฟไปได้) แต่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปบอกว่ากาลอวกาศนั้นต่อเนื่องแล้วไปเกิดปัญหาที่ภาวะเอกฐาน
ปี 2013 ลีโอนาร์ด สัสกินด์ และ ญวน มาลดาเซนา เสนอแนวคิดเพื่อแก้ปัญหากำแพงไฟที่ว่า อนุภาครังสีที่หนีออกไปจากขอบฟ้าเหตุการณ์นั้นยังคงเชื่อมต่อกับอนุภาคที่อยู่ด้านในผ่านรูหนอนขนาดเล็กซึ่งเจ้ารูหนอนขนาดเล็กนั้นก็คือ ความพัวพันควอนตัมนั้นเอง จึงเกิดแนวคิด ER=EPR
ปล ปัญหาเรื่องความขัดแย้งของข้อมูลที่ตกลงไปในหลุมดำนั้นจะมีบทความต่างหากอย่างละเอียด
ปี 2015 ทีม LIGO ตรวจจับสัญญาณคลื่นความโน้มถ่วงซึ่งเกิดจากระบบหลุมดำคู่ที่หมุนรอบกันและเข้ารวมตัวกัน
ปี 2019 ทีม Event Horizon Telescope ปล่อยภาพถ่ายแรกของหลุมดำที่มีชื่อว่า M87*
อ้างอิง
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Timeline_of_black_hole_physics
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Penrose–Hawking_singularity_theorems
[3] https://plato.stanford.edu/entries/spacetime-singularities/#PathInco
[4] https://arxiv.org/pdf/1410.5226.pdf
Leave a Reply