ควอนตัมแบบไฟน์แมน-ทุกเส้นทางที่เป็นไปได้ (Feynman’s sum over histories)

ควอนตัมแบบไฟน์แมน-ทุกเส้นทางที่เป็นไปได้ (Feynman’s sum over histories)

หากเราต้องการที่จะออกจากบ้านไปยังที่ทำงานในตอนเช้า เราต้องคิดถึงเส้นทางที่จะทำให้เราเสียเวลาน้อยที่สุด รถติดน้อยที่สุด ตัวเลือกที่เราเลือกนั้นต้องถือว่าเหมาะสมที่สุด

ในธรรมชาติรอบตัวเราก็เช่นกันลักษณะของเงื่อนไขที่เหมาะสมที่สุดนั้นคือสิ่งที่ธรรมชาติเลือก เช่น หากเราปล่อยวัตถุมวล m จากความสูง h เรารู้ได้ทันที่ว่ารูปแบบของเส้นทางที่วัตถุนั้นเป็นเส้นตรงไปยังพื้นภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก เพราะเส้นทางแบบเส้นตรงนั้นใช้เวลาน้อยที่สุดในการเดินทางจากตำแหน่งเริ่มต้นจนถึงพื้น หรือเส้นทางแบบอื่นๆที่ไม่ใช่เส้นตรงนั้นใช้เวลานานกว่าธรรมชาติจึงไม่เลือกที่จะให้วัตถุมวล m เคลื่อนที่ตามเส้นทางแบบอื่นๆ

แต่เมื่อเราเข้าไปสู่โลกของควอนตัมอะไรที่ไม่ควรจะเป็นไปได้นั้นกลับเป็นไปได้ อย่างที่เราเข้าใจว่าควอนตัมนั้นเป็นทฤษฏีที่อยู่บนรากฐานของความน่าจะเป็นตามแนวคิดของโคเพนเฮเกน

หากเราย้อนกลับไปยังการทดลองของอิเล็กตรอนเดี่ยวผ่านช่องคู่ เราค้นพบว่าอิเล็กตรอนนั้นผ่านช่องคู่ไปพร้อมๆกันด้วยความสามารถที่ทำตัวเป็นคลื่น(ของความน่าจะเป็น) ยังผลของรูปแบบของการแทรกสอดที่ฉากรับ ดังนั้นในมุมมองของ ไฟน์แมน หากเราถามว่าเส้นทางของอิเล็กตรอนนั้นเป็นอย่างไรเมื่อออกจากแหล่งกำเนิดจนไปถึงฉากรับ อย่างที่เรารู้ว่าอิเล็กตรอนผ่านช่องคู่ไปพร้อมๆกัน ดังนั้นเราอาจบอกได้ว่ามีสองเส้นทางที่อิเล็กตรอนเดินทาง นั้นคือเส้นทางที่ผ่านช่องที่หนึ่งและเส้นทางที่ผ่านช่องที่สอง

เราจะเห็นได้ว่าเส้นทางของอิเล็กตรอนนั้นไม่ได้มีเส้นทางเดี่ยวที่เป็นไปได้แต่กลับมีถึงสอง!! ถ้ายังรู้ว่าธรรมดาเราอาจเพิ่มจำนวนช่องให้มากขึ้นแล้วทำการทดลอง

ผลการทดลองบอกว่าเราต้องคำนึงถึงทุกเส้นทางที่เป็นไปได้ (sum over histories) ของอิเล็กตรอนดังรูป (รูปแบบของเส้นทางในการทดลองโดนจำกัดโดยรูปแบบการว่างของช่องและจำนวนช่อง)

หากเราพิจารณากรณีอิเล็กตรอนอิสระที่เริ่มเดินทางจากจุด A ณ เวลา tA ไปยังจุด B ณ เวลา tB

เราอาจจะคิดว่าเส้นทางที่น่าจะเป็นไปได้ที่สุดนั้นคือเส้นตรงจาก A ไปถึง B แต่จากแนวคิดที่ได้จากการทดลองของช่องคู่ เส้นทางนั้นไม่ได้มีเส้นตรงแบบเดี่ยวสำหรับกรณีอิเล็กตรอนอิสระนั้นไม่ได้มีเงื่อนไขอะไรมาบังคับรูปแบบของเส้นทางดังนั้นเส้นทางทุกรูปแบบที่เป็นไปจะเป็นไปได้ ถึงตรงนี้เราอาจจะคิดว่ามีอนันต์รูปแบบของเส้นทางก็ไม่ผิด !! ฟังดูแล้วอาจจะรู้สึกว่าประหลาดนักเพราะเราคิดว่าตำแหน่ง A และ B อยู่บนโลก เวลาที่ใช้ในการเดินทางระหว่างสองจุดนั้นเป็น T เส้นทางรูปแบบเส้นตรงนั้นอิเล็กตรอนนั้นอาจจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วอย่างสม่ำเสมอ เส้นทางรูปแบบอื่นๆนั้นอิเล็กตรอนอาจจะต้องใช้ความเร็วที่หลากหลาย เช่น อาจจะเคลื่อนที่เร็วมากๆในช่วงแรก แต่อาจจะไปช้าในตอนปลาย หรือกลับกัน หรือสลับกันไปมาๆ เพื่อให้เงื่อนไขของเวลา T นั้นเป็นจริงทุกเส้นทาง สำหรับเส้นทางที่มีรูปแบบต่างออกไปจากเส้นทางคลาสสิกไกลๆนั้นอิเล็กตรอนในบางจังหวะอาจจะมีความเร็วมากกว่าแสง (เส้นทางหนึ่งของอิเล็กตรอนนั้นอาจจะวิ่งออกจาก A ไปนอกวนรอบดาวอังคารแล้วกลับมายังจุด B ก็เป็นไปได้!!)

อย่างที่เรารู้ว่าควอนตัมนั้นเกี่ยวเนื่องกับเรื่องของความน่าจะเป็น ในแนวความคิดของไฟน์แมนนั้นแต่ล่ะเส้นทางนั้นจะมีค่าน้ำหนักของความน่าจะเป็นสัมพันธ์อยู่

หากเรากลับไปพิจารณากรณีอนุภาคอิสระ กรณีรูปแบบของเส้นตรงนั้นค่าน้ำหนักของความน่าจะเป็นที่อิเล็กตรอนจะเลือกไปนั้นมากที่สุดเพราะเป็นเส้นทางในกรณีปกติ(หากไม่คิดผลของควอมตัม)เรียกว่า เส้นทางคลาสสิก [1](classical path) ส่วนเส้นทางอื่นๆที่ต่างออกไปจากเส้นทางคลาสสิกนั้นค่าน้ำหนักของความน่าจะเป็นที่อิเล็กตรอนจะเลือกไปนั้นก็มีค่าลดน้อยลงไปตามลำดับ หากเส้นทางที่มีรูปแบบใกลเคียง [2] กับเส้นทางคลาสสิกนั้นก็จะมีน้ำหนักของความน่าจะเป็นมากกว่าเส้นทางที่มีรูปแบบผิดแปลก [3] ไปจากเส้นทางคลาสสิกมากๆ

การมีอยู่ของอนันต์เส้นทางของอิเล็กตรอนจาก A ไปยัง B นั้นตอกยำในเรื่อง อินดีเทอมินิสติก (indeterministic)ในโลกของควอนตัม เพราะเราบอกไม่ได้เลยว่าอเล็กตรอนจะเลือกเส้นทางไหน เพราะไปทุกเส้นทางที่เป็นไปได้

เราอาจจะรู้สึกว่าแนวคิดของไฟน์แมนเกี่ยวกับคิดทุกเส้นทางที่เป็นไปได้ อาจจะมีความคล้ายกับแนวคิดเรื่องโลกคู่ขนานของควอนตัม แต่จริงๆแล้วนั้นต่างกันมากเพราะแนวคิดโลกคู่ขนานนั้นเกิดขึ้นเพื่อแก้ปัญหาเรื่องการยุบตัวของฟังก์ชั่นคลื่นเนื่องจากผู้สังเกตุ ผลของการสังเกตุทำให้เกิดโลกคู่ขนานที่ผู้สังเกตุจะตกไปอยู่กับผลการสังเกตุของสถานะย่อยๆทั้งหมดที่เป็นไปได้ แต่สำหรับมุมมองของไฟน์แมนนั้นขณะที่เรายังไม่ถามว่าอนุภาคเคลื่อนที่ไปเส้นทางไหน จะมีทุกเส้นทางที่เป็นไปได้(คล้ายๆกับอยู่ในสถาวะซ้อนทับของทุกเส้นทาง) หากเราทำการสังเกตุจะเกิดการยุบของเส้นทางแบบสุ่มตามน้ำหนักของความน่าจะเป็นที่สัมพันธ์กับเส้นทางนั้น

หากกลับไปพิจารณากรณีช่องคู่ของอิเล็กตรอนเดี่ยว ขณะที่เราไม่ถามอิเล็กตรอนนั้นไปสองเส้นทางพร้อมๆกัน หากเราคิดว่ามีสองเส้นทางที่เป็นไปได้ดังนั้นน้ำหนักจะเท่ากัน เมื่อเราทำการสังเกตุว่าอิเล็กตรอนเลือกไปช่องไหน ผลจะออกมาอย่างสุ่ม ระหว่างช่องบนและล่างเท่าๆกัน