“วัตถุจะรักษาสภาพการเคลื่อนที่ตราบเท่าที่ไม่มีแรงลัพธ์ภายนอกที่ไม่เป็นศูนย์มากระทำ”
“An object at rest stays at rest and an object in motion stays in motion with the same speed and in the same direction unless acted upon by an unbalanced force”
กล่าวคือ หากวัตถุอยู่นิ่งก็จะอยู่นิ่งอย่างนั้นไปตลอด หรือหากว่าวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในทิศทางใดทิศทางหนึ่งวัตถุก็จะเคลื่อนที่อย่างนั้นไปตลอด นั้นคือวัตถุนั้นไม่อยากที่จะเปลี่ยนแปลงสภาพการเคลื่อนที่ของตัวมันเองหรือ เฉื่อย ต่อการเปลี่ยนแปลงที่จะเกิดขึ้นตราบเท่าที่ไม่มีแรงลัพธ์ภายนอกที่ไม่เป็นศูนย์มาบังคับว่าต้องเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่ กฏการเคลื่อนที่ข้อแรกนี้เป็นที่รู้จักกันในอีกชื่อว่า กฏของความเฉื่อย (Law of inertia) นั้นเอง
คำอธิบายข้างต้นดูเหมือนไม่มีอะไรตรงไปตรงมาเข้าใจได้ง่าย แต่ในความเป็นจริงแล้วนั้นสามารถนำไปสู่ความเข้าใจผิดได้อย่างง่ายดายดังที่จะกล่าวต่อไปนี้
พิจารณาตัวอย่างดังต่อไปนี้ วัตถุมวล m วางนิ่งอยู่กับพื้นห้องดังรูปที่ 1.1
วัตถุก็จะอยู่นิ่งอย่างนั้นตราบเท่าที่เราไม่ไปขยับมัน หากเราพิจารณาแรงที่กระทำกับวัตถุมวล m เราจะพบว่ามีอยู่ด้วยกัน 2 แรง นั้นแรงที่พื้นกระทำกับวัตถุและแรงเนื่องแรงโน้มถ่วงของโลก ซึ่งทั้งสองมีทิศตรงกันข้ามกันตามแนวดิ่ง ดังรูปที่ 1.2
ดังนั้นเราอาจจะสรุปได้ว่า เนื่องจากวัตถุอยู่นิ่ง ขนาดของแรงขึ้นต้องเท่ากับขนาดของแรงลง N=mg หรือ N-mg=0 ดังนั้นหลายคนจึงสรุปว่า ใจความของกฏการเคลื่อนข้อที่หนึ่งนั้นสามารถถอดออกมาเป็นสมการ ผลรวมของแรงลัพธ์ภายนอกเป็นศูนย์
ข้อพึงระวัง การสรุปจากตัวอย่างข้างต้นนั้นไม่เป็นจริง กฏข้อนี้ไม่ได้บ่งบอกถึง ผลรวมของแรงลัพธ์ภายนอกเป็นศูนย์แต่อย่างใด ดังนั้นหากถามเกี่ยวกับใจความของกฏข้อที่หนึ่งเราไม่ควรตอบว่าผลรวมของแรงภายนอกเป็นศูนย์เป็นอันขาดเพราะหากเมื่อไรเราสรุปอย่างนี้ จะทำให้เราได้ว่ากฏข้อที่ 1 นั้นเป็นกรณีพิเศษของกฏข้อที่ 2 ซึ่งผิดอย่างอย่างมหันต์ แต่ในความเป็นจริงนั้นกฏสองข้อนี้ไม่ขึ้นต่อกันเลย
เพื่อให้ประเด็นตรงนี้เห็นภาพมากขึ้น จึงขอยกตัวอย่างดังต่อไปนี้ พิจารณาวัตถุมวล m อยู่นิ่งในอวกาศอันปราศจากแรงโน้มถ่วงดังรูปที่ 1.3
แน่นอนกรณีนี้ไม่มีแรงใดๆกระทำกับวัตถุเลย แต่วัตถุนั้นอยู่นิ่งได้โดยไม่ต้องไปอ้างถึง ผลรวมของแรงลัพธ์ภายนอกเป็นศูนย์ ดังนั้นข้อสรุปจากตัวอย่างที่แล้วเกี่ยวกับกฏข้อที่ 1 ไม่เป็นจริงเสมอไป
หากเราพิจารณากรณีที่วัตถุมวล m เคลื่อนที่ในอวกาศอันว่างเปล่าดังรูปที่ 4 วัตถุก็จะยังคงเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในทิศทางใดทิศทางหนึ่งอย่างนั้นไปตลอด ซึ่งเราก็จะเห็นได้ว่าระหว่างที่วัตถุเคลื่อนที่นั้นไม่มีแรงอะไรกระทำอยู่เลย ดังนั้นอความผลรวมของแรงลัพธ์ภายนอกเป็นศูนย์ก็ไม่เป็นจริงอีกสำหรับกรณีนี้
ความจริงอันสำคัญที่ซ้อนอยู่ภายใต้กฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ของนิวตันนั้นเกี่ยวข้องกับนิยามของ กรอบอ้างอิงเฉื่อย ซึ่งจะได้กล่าวในโอกาศต่อไป
เกร็ดประวัติศาสตร์
อันที่จริงนิวตันไม่ได้เป็นคนแรกที่ให้นิยามกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 หากแต่ได้รับแนวคิดมาจากคนรุ่นก่อน คนแรกที่เริ่มอธิบายธรรมชาติของการเคลื่อนที่ของวัตถุน่าจะเป็น อลิสโตเติล หรือเราอาจจะเรียกว่า กฏการเคลื่อนที่ของอลิสโตเติลก็ได้ โดยมีใจความว่า
“โดยธรรมชาติแล้ววัตถุเลือกที่จะอยู่ในสภาวะหยุดนิ่ง หากเราไม่พลักวัตถุก็จะไม่เคลื่อนที่”
“The natural state for an object is to be at rest. If you don’t push on an object, it will stop moving”
โดยปรกติแล้วจากประสบการณ์ในชีวิตประจำวันเราพบว่าหากเราทำการดีดวัตถุให้เคลื่อนที่ไปตามพื้นห้อง วัตถุนั้นจะหยุดนิ่งในที่สุดนั้นเนื่องจากการมีอยู่ของแรงเสียดทานระหว่างผิววัตถุและพื้นห้อง ตามรูปที่ 1.5 ดังนั้นแรงเสียดทานจึงเป็นสิ่งที่ทำให้สภาพการเคลื่อนที่ของนั้นเปลี่ยนไปนั้นเอง
การปฏิวัติที่ยิ่งใหญ่การทำความเข้าใจเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุต่างรอบตัวเรานั้นน่าจะมาจาก โคเพอนิคัส กับแนวคิดที่ว่าโลกไม่ได้เป็นศูนย์กลางของจักรวาล หากแต่โลกนั้นหมุนรอบดวงอาทิตย์ ซึ่งต่อมา กาลิเลโอก็รับแนวความคิดเกี่ยวกับโลกหมุนรอบดวงอาทิตย์แล้วทำการพัฒนาแนวความคิดต่อเพื่ออธิบายว่าทำไมโลกถึงหมุนวนรอบดวงอาทิตย์ไม่รู้จบ ดังนั้นเพื่ออธิบายปรากฏการณ์ข้างต้น เขาจึงนิยามความเฉื่อยซึ่งเป็นสิ่งที่ทำให้วัตถุเคลื่อนที่ได้อย่างที่มันเคลื่อนที่ก่อนหน้านั้นไปตลอด
กาลิเลโอได้ทำการทดลองเพื่อทดสอบสมมุติฐานดังต่อไปนี้ เขาได้ทำลูกหินมาวางไว้พื้นเอียงดังรูปด้วยความสูงค่าหนึ่ง จากนั้นทำการปล่อยลูกหินจะวิ่งไปอีกฝั่งแล้วขึ้นไปหยุดที่ระยะสูงเท่ากับในตอนต้นหากไม่มีแรงเสียดทานดังรูปที่ 1.6
กาลิเอโอปรับการทดลองในรูปที่ 6 โดยการที่ทำให้พื้นเอียงด้านหนึ่งนั้นเอียงน้อยลง ซึ่งจะเห็นได้ว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ไปตามแนวพื้นเอียงได้มากขึ้นเพื่อให้ได้ความสูงเท่ากับตอนเริ่มต้นดังรูปที่ 1.7
กาลิเลโอจึงตั้งคำถามว่าหากว่าพื้นเอียงนั้นทางด้านขวาเปลี่ยนเป็นพื้นราบจะเกิดอะไรขึ้น สำหรับกรณีนี้วัตถุไม่มีความจำเป็นที่จะต้องกลับไปที่ความสูงเริ่มต้น มันจึงเคลื่อนที่อย่างนั้นไปตลอด ดังรูปที่ 1.8
ซึ่งการที่วัตถุเคลื่อนที่ตามแนวราบเรื่อยๆนั้นแสดงให้เห็นถึงความเฉื่อยต่อการเปลี่ยนแปลงสภาพการเคลื่อนที่นั้นเอง
กฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ของนิวตัน
“หากแรงลัพธ์ภายนอกไม่เป็นศูนย์จะทำให้วัตถุเกิดการเปลี่ยนแปลงสภาพการเคลื่อนที่”
“The time rate of change of linear momentum of an object is proportional to the net external force acting on it and occurs in the direction of the resultant force”
ในที่นี้โมเมนตัมนิยามเป็นผลคูณของมวลและความเร็วของวัตถุ p=mv ซึ่งเป็นปริมาณที่บ่งบอกถึงสภาพการเคลื่อนที่ของวัตถุ หากเราถอดความกฏการเคลื่อนที่ข้อที่สองออกมาเป็นสมการคณิตศาสตร์เราจะได้ว่า F=dp/dt กฏข้อนี้ของนิวตันสำหรับผู้เขียนสามารถมองได้ว่าเป็น กฏของเหตุและผล เหตุของการเปลี่ยนแปลงคือแรงลัพธ์ที่กระทำวัตถุที่ไม่เป็นศูนย์ส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนสภาพการเคลื่อนที่หรือโมเมนตัมกับเวลานั้นเอง
สำหรับวัตถุมีมวลไม่เปลี่ยนแปลงไปกับเวลาเราจะได้ว่า F=mdv/dt=ma ซึ่งเป็นสมการที่เราคุ้นเคยกันมากขึ้น ดังนั้นจากสมการด้านบนเราสามารถสรุปได้ว่า ขนาดของความเร่ง a แปรผันตรงกับขนาดของแรงลัพธ์แต่แปรผกผันกับขนาดของมวล m
เรามาทำการวิเคราะห์ที่ล่ะประเด็น
ประเด็นแรกคือเนื่องจากแรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดังนั้นวัตถุอาจจะมีแรงกระทำอยู่ด้วยกันหลายแรง แรงลัพธ์ที่ไม่เป็นศูนย์จะส่งผลต่อการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว ดังนั้นเราจะใช่กฏการเคลื่อนข้อนี้ของนิวตันในการนิยามแรงไม่ได้เพราะเราไม่สามารถอ้างถึงแรงย่อยๆแต่ล่ะแรงได้ นิยามของแรงนั้นต้องไปว่ากันที่กฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตันต่อไป
เพื่อให้ประเด็นเรื่องแรงลัพธ์กระจ่างมากขึ้นเราพิจารณามวลที่โดนพลักด้วยแรง F ไปบนพื้นที่แรงเสียดทาน f ดังรูปที่ 2.1 โดยที่ขนาดของแรงพลัก F นั้นโตกว่าแรงเสียดทาน f
ดังนั้นสมการที่เราได้มาจะอยู่ในรูป F–f=ma ซึ่งเราสามารถออกแบบการทดลองเพื่อวัดค่าความเร่งออกมาได้ สำหรับกรณีนี้หากเราย้ายข้างสมการเราจะได้ว่าค่าความเร่งจะมีขนาดเท่ากับ $
a=(F–f)/m=$
ต่อไปเราพิจาณาอีกกรณีที่วัตถุมวล m ถูกพลักไปด้วยแรง A แล้วมีแรงต้าน B บนพื้นลื่นดังรูป 2.2 โดยแรง A มีขนาดโตกว่าแรง B
สำหรับกรณีนี้เราจะได้สมการ A–B=ma และทำการย้ายข้างหาความเร่งเราจะได้
a=(A–B)/m=$
ซึ่งหากค่าที่วัดออกมาได้นั้นเป็น $ เท่ากับกรณีแรกพอดี ซึ่งจากกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 นั้นแน่นอนว่าความเร่งแปรผันตรงกับแรงลัพธ์ แต่ทั้งสองกรณีการมีอยู่ของแรงย่อยๆที่กระทำนั้นต่างกัน
สำหรับกรณีในรูปที่ 2.1 เกิดหากว่าแรง F=f เราจะพบว่าความเร่งของวัตถุนั้นเป็นศูนย์หรือวัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่สำหรับกรณีนี้ แต่เราไม่สามารถสรุปได้ว่าเราได้กฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 กลับมาจากเหตุการณ์นี้ (ซึ่งได้อธิบายไปแล้วในบทที่ 1) หากแต่เราต้องบอกว่าวัตถุอยู่ในสมดุลของแรงย่อยๆระหว่างการเคลื่อนที่จึงไม่ก่อให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว(เช่นเดี่ยวกันกับรูปที่ 1.1)
ประเด็นที่สอง ความเร่งนั้นแปรผกผันกับมวลของวัตถุ เพื่อที่จะทำการอภิปรายประเด็นนี้เราข้อทำผ่านตัวอย่างดังต่อไปนี้ สมมุติออกแรง F เพื่อผลักวัตถุสองก้อนที่มีมวล m และ M โดยที่ M นั้นมีค่ามากกว่า m ดังรูป 2.3
แน่นอนว่าความเร่งของมวล M นั้นย่อมน้อยกว่ามวล m
A=F/M<F/m=a
หากเราต้องการทำให้วัตถุทั้งสองมีความเร่งเท่ากัน สิ่งที่เราทำได้คือเพิ่มขนาดของแรงในทิศทางเดิมให้กับมวล M (หรือลดขนาดของแรงสำหรับมวล m นั้นเอง) หรือเราอาจพูดได้ว่าหากเราต้องการทำให้วัตถุทั้งสองเกิดการเปลี่ยนแปลงสภาพการเคลื่อนที่ที่เหมือนกันเราจะต้องแสดงความพยายาม(ออกแรง)มากกว่าสำหรับมวลที่มากกว่า
ดังนั้น มวล มีคุณสมบัติพิเศษสำหรับกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 นี้ คุณสมบัติที่ว่าคือ คุณสมบัติที่ต่อต้านการเปลี่ยนแปลงสภาพการเคลื่อนที่นั้นเอง หรือ เราอาจเรียกมวลว่า ความเฉื่อย (inertia) ของวัตถุ รวมกันเราเรียกมวลในกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 นี้ว่า มวลเฉื่อย (inertia mass)
ข้อพึงระวัง ความเฉื่อยที่เกี่ยวข้องกับมวลในกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ไม่ได้เป็นผลโดยตรงจากกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 ซึ่งว่าด้วยความเฉื่อยเหมือนกัน ประเด็นในกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 นั้นไม่ได้กล่าวถึงมวลแม้แต่น้อย กล่าวเพียงความต้องการของวัตถุที่จะคงสภาพการเคลื่อนที่ ดังรูปที่ 2.4
อีกประเด็นความเฉื่อยเนื่องจากมวลนั้นสัมพันธ์โดยตรงการมีอยู่ของแรงลัพธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ตามกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 ในขณะความเฉื่อยตามกฏการเคลื่อนที่ข้อ 1 นั้นไม่เลย
เกร็ดประวัติศาสตร์ [A Sharma, 2014, Isaac Newton, Leonhard Euler and F=ma, Physics essays 27, 3]
เรื่องที่น่าสนใจเป็นอย่างมากสำหรับกฏข้อนี้คือ จริงๆแล้วในหนังสือ The Principia ของนิวตันนั้น เนื้อความของกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 นั้นไม่ได้เขียนความสัมพันธ์ F=ma เอาไว้อย่างชัดเจน หากแต่เป็นการอธิบายเนื้อความด้วยเรขาคณิต ซึ่งหากถอดความออกมาแล้วสิ่งที่นิวตันอธิบายในกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 2 นั้นคือความสัมพันธ์ F=k(v-u)โดย k เป็นค่าคงที่ และ v-u เป็นความเร็วที่เปลี่ยนไปของวัตถุ คนแรกที่เขียนความสัมพันธ์ F=ma นั้นคือ ออยเลอร์ ในปี 1775 แต่เป็นที่น่าสนใจว่าเครดิตนั้นกลับเป็นของนิวตัน
กฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตัน
“เมื่อวัตถุ A ออกแรงกระทำต่อวัตถุ B วัตถุต้องออกแรงที่ขนาดเท่ากันกลับไปยังวัตถุ A”
“When two objects interact, the mutual forces of interaction on each object are equal in magnitude and opposite direction”
ปกติเราจะท่องกันติดปากว่า “ทุกแรงกระทำจะมีกระทำกลับที่มีขนาดเท่ากันในทิศตรงข้าม” หากท่องกันเท่านี้นั้นทำให้เข้าใจผิดได้เยอะมากๆดังตัวอย่างของวัตถุมวล m ว่างนิ่งอยู่บนพื้นดังรูปที่ 3.1 โดยมีแรงสองแรงกระทำกับวัตถุตามรูป หากถามกันทั่วไปแล้วว่าคู่แรงปฏิกริยาของ N คืออะไร ส่วนใหญ่ตอบว่า mg เพราะ N=mg และมีทิศตรงข้ามตามเงื่อนไขเลย ซึ่งจริงๆไม่ใช่ แต่หากว่าเราเพิ่มเติมการท่องจำไปอีกหน่อยว่า “กระทำกับวัตถุคนล่ะก้อน” จะทำให้เราค้นหาคู่ของแรงกระทำใดๆได้ไม่มีทางผิดเด็ดขาด จากเงื่อนไขเพิ่มเติมที่เราให้เราจะเห็นได้ว่า N และ mg นั้นไม่สามารถเป็นคู่แรงกริยาและปฏิกริยาของกันและกันได้เพราะทั้งสองกระทำบนวัตถุมวล m ทั้งคู่ และที่ N=mg เพราะวัตถุอยู่สภาวะสมดุลแรง
ดังนั้นหากต้องการท่องเนื้อความกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตันควรเป็น “ทุกแรงกระทำจะมีกระทำกลับที่มีขนาดเท่ากันในทิศตรงข้ามและกระทำกับวัตถุคนล่ะก้อน”
ตอนนี้เรากลับไปพิจารณาหาคู่แรงของ N และ mg ในรูปที่ 3.1 ในเมื่อแรง N เป็นแรงที่พื้นกระทำกับวัตถุมวล m ดังนั้นคู่ของมันก็ควรเป็นแรงที่วัตถุมวล m กระทำพื้นกลับด้วยขนาดแรงที่เท่ากันในทิศตรงข้ามนั้นคือ N*และแน่นอน N=N*
ต่อไปเราก็ทำการหาคู่แรงของ mg แรงนี้เป็นผลของแรงโน้มถ่วงของโลกหรือโลกดึงมวล m ดังนั้นคู่ของแรงนี้ก็ควรจะเป็นแรงที่ขนาดเท่ากันที่กระทำกับโลกในทิศตรงข้ามดังรูปที่ 3.3 ซึ่งแรงทั้งสองกระทำผ่านจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุทั้งสอง
แรงที่กล่าวถึงในกฏการเคลื่อนที่ข้อนี้จะอยู่ในรูปแบบไหนก็ได้ เช่น แรงดึงดูดระหว่างมวลดังรูปที่ 3.4 หรือ แรงไฟฟ้าระหว่างประจุ เป็นต้น แรงสองแบบดังกล่าววัตถุทั้งสองไม่จำเป็นต้องสัมผัสกันก็ได้เพียงแต่ให้การส่งแรงระหว่างกัน(ซึ่งในที่นี้เราจะไม่กล่าวลงไปในรายละเอียดว่าตัวกลางที่ส่งแรงนั้นคืออะไรเพราะเกินขอบเขตของเนื้อหา)
กฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตันถือได้ว่าเป็นกฏที่ว่าด้วยธรรมชาติของแรงซึ่งเมื่อไรที่วัตถุสองชิ้น A และ B มีอัตรกริยาต่อกัน(จะสัมผัสกันหรือไม่ก็ตาม)
พิจารณาการชนกันระหว่างวัตถุ A และ B ตามรูป 3.5 ณ ช่วงเวลาหนึ่ง เราสามารถเขียนออกมาเป็นสมการคณิตศาสตร์ได้ว่า
F_{AB}=-F_{BA}
แรงทางซ้ายเป็นแรงที่ A กระทำ B ส่วนทางด้านซ้ายเป็นแรงที่ B กระทำต่อ A เครื่องหมายลบบอกทิศที่ตรงข้ามกัน
จากความสัมพันธ์ระหว่างแรงและโมเมนตัมตามกฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 1 เราจะได้ว่า
dp_{B}/dt=-dp_{A}/dt
dp_{B}/dt+dp_{A}/dt=dP/dt=0
โดยที่ P=p_{A}+p_{B} เป็นผลรวมของโมเมนตัม ซึ่งจากสมการจะเห็นได้ว่าโมเมนตัมรวมของระบบคงที่ หรือที่เรารู้จักกันดีในชื่อ กฏอนุรักษ์โมเมนตัม
[p_{A}+p_{B}]_{ก่อนชน}=[p_{A}+p_{B}]_{หลังชน}
ที่ว่าด้วยผลรวมของโมเมนตัมก่อนชนเท่ากับหลังชนนั้นเอง ดังนั้นเราอาจจะกล่าวได้ว่ากฏการเคลื่อนที่ข้อที่ 3 ของนิวตันนั้นเป็นการกล่าวถึงการอนุรักษ์โมเมนตัมระบบที่มีอัตรกิริยาต่อกัน
Leave a Reply