ต่อไปเนื่องกันไปกันเลยนะครับสำหรับปัญหาคณิตศาสตร์ในภาพยนต์ โดยวันนี้จะมาในเรื่อง The man who knew infinity
ซึ่งเป็นเรื่องราวชีวิตของนักคณิตศาสตร์ที่ต้องยอมรับว่ายิ่งใหญ่ที่สุดคนหนึ่งของโลกเลยก็ว่าได้ คนๆนั้นก็คือ ศรีนิวาสะ รามานุจัน (Srīnivāsa Aiyangār Rāmānujam) ประวัติของเขานั้นอ่านได้ที่ ส่วนบทสรุปหนังอ่านได้ที่
สั้นๆ เดือนมกราคม 1913 ฮาร์ดี ได้รับจดหมายจากมาดราส อินเดีย จากหนุ่มอินเดียวัย 23 ปีชื่อ รามานุจัน ซึ่งเป็นจดหมายแนะนำตัวเองและความสนใจด้านคณิตศาสตร์
สำหรับฮาร์ดีนั้นจดหมายของรามานุจันนั้นตามนี้เลยครับ “Certainly the most remarkable [letter] I have ever received, its author a mathematician of the highest quality, a man of altogether exceptional originality and power.”
ความน่าสนใจคือก่อนที่เขาจะมาเจอฮาร์ดีที่อังกฤษนั้นเขาเรียนคณิตศาสตร์ด้วยตัวเอง และเขาบอกว่าสูตรต่างๆนั้นเทพเจ้าเป็นคงประธานให้เขา ปัญหาจึงเกิดเพราะเขาได้มาซึ่งสูตรแต่ไม่ได้มีกระบวนการได้มาหรือวิธีพิสูจน์ ดังฉากหนึ่งในหนังที่ฮาร์ดีบอกรามานุจันว่าเขาต้องมีกระบวนพิสูจน์……
ทฤษฎีอันหนึ่งที่ได้กล่าวถึงในหนังเรื่องนี้หลายต่อหลายครั้งในหนังคือ “การทำพาร์ติชันจำนวนเต็มบวก” (Partition of a positive integer) ในสาขาทฤษฎีจำนวน (Number theory) คำถามคือสำหรับจำนวนเต็มบวก \(n\) ใดๆ จะมีกี่วิธีที่แตกตัวเลข \(n\) ให้อยู่ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวกที่น้อยกว่าเท่ากับ \(n\)
ตัวอย่างที่ 1 สำหรับตัวเลข 3 เราแตกออกเป็น
- 1+1+1
- 2+1(เหมือนกับ 1+2)
- 3
มีทั้งหมด 3 วิธี
ตัวอย่างที่ 2 ขอยกตัวอย่างที่ตัวเลขหนึ่งคือ 5
- 1+1+1+1+1
- 2+1+1+1
- 2+2+1
- 3+1+1
- 3+2
- 4+1
- 5
มีทั้งหมด 7 วิธี
หากเราลองทำตารางดูจะได้ดังรูป
กระบวนการข้างต้นนั้นก็ดูตรงไปตรงมาไม่ได้มีอะไรมาก ก็จริงๆครับสำหรับจำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยๆ เรายังคงพอที่จะเขียนมือรูปแบบทั้งหมดออกมาได้ แต่สำหรับกรณีที่จำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากๆ เช่น 1000 การคำนวนหาด้วยมือน่าจะไม่เหมาะในการหาว่ามีกี่วิธีของการทำพาร์ติชัน
กราฟฟิกของการทำพาร์ติชัน Young diagram
การทำพาร์ติชันโดยดูตัวเลขบวกกันไปมาดูน่าเบื่อมากๆ นักคณิตศาสตร์มีวิธีในการนำเสนอด้วยกราฟฟิกที่ทำให้ดูน่าติดตามมากขึ้น ในที่นี้เราเลือกวิธีของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ อังเฟรด ยัง (Alfred Young) ซึ่งแสดงด้วยกล่องสี่เหลี่ยม
ตัวอย่างที่ 3 สำหรับเลข 4 เราแสดงการทำพาร์ติชันได้ดังนี้
ความน่าสนใจหากเราทำการเรียงภาพด้านบนใหม่เราจะเห็นถึงสมมาตรที่ซ้อนอยู่ดังรูปด้านล่าง
ตัวย่างที่ 4 กราฟฟิกพาร์ติชันของชุดตัวเลข 1 ถึง 8
พาร์ติชันฟังก์ชัน (partition function)
ตอนนี้เรานิยามให้ \(p(n)\) คือ พาร์ติชันฟังก์ชัน ซึ่งคือจำนวนวิธีทั้งหมดที่ทำพาร์ติชันของจำนวนเต็มบวก \(n\) เช่น \(p(5)=7\) (ดูตัวอย่างที่ 2) สำหรับชุดตัวเลข \(n=1,2,3,4,5,….\) นั้นชุดตัวเลขของจำนวนวิธีการทำพาร์ติชันคือ
\(p(n)=1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, …\)
อย่างที่เราพอจะเดาได้ว่าค่าจะโตขึ้นไปเรื่อยๆตามค่า \(n\)
ออยเลอร์สังเกตเห็นโครงสร้างของชุดตัวเลข \(p(n)\) และสามารถสร้างอนุกรมของฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) ดังนี้ หากเรานำค่า \(p(n)\) มาเขียนเป็นสัมประสิทธิ์หน้า \(x^n\) เรียงบวกกันเป็นอนุกรมได้ดังนี้
\(1+1x+2x^2+3x^3+5x^4+7x^5+11x^6+15x^7+…=\sum_{n=0}^{\infty} p(n)x^n\)
เพื่อให้เห็นโครงสร้างของอนุกรมที่น่าสนใจที่ซ้อนอยู่ในอนุกรม สมมติเราสนใจเขียนอนุกรมถึงแค่ \(x^4\) เราพบว่ามันประกอบขึ้นมาจากผลคูณของอนุกรม 4 ตัวด้วยกันดังนี้
\(1+1x+2x^2+3x^3+5x^4\approx (1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x^2+x^4)(1+x^3)(1+x^4)\)
ตรงนี้ต้องขออธิบายเพิ่มเติมตรงเครื่องหมายประมาณ นั้นคือ จริงๆ ทางขวามือนั้นมีพจน์ที่กำลังมากกว่า 4 แต่สัมประสิทธิ์จะไม่ตรงกับที่เราต้องการแล้วสัมประสิทธิ์จะตรงถึงแค่พจน์กำลัง 4
ดังนั้น
\(\sum_{n=0}^{\infty} p(n)x^n=(1+x+x^2+x^3+x^4+….)(1+x^2+x^3+x^4+…)…(1+x^k+x^{2k}+…)…=\prod_{k=1}^\infty \sum_{i=0}^\infty x^{ik}\)
อนุกรมย่อยๆที่นำมาคูณกันทางขวานั้นคือ อนุกรมเรขาคณิต (geometric series) ซึ่งสามารถหารูปปิด(closed form)ได้เป็น
\(1+x^k+(x^k)^2+(x^k)^3+…=\frac{1}{1-x^k}\)
ดังนั้น
\(\sum_{n=0}^{\infty} p(n)x^n=\prod_{k=1}^\infty \frac{1}{1-x^k}\)
ความสัมพันธ์ด้านบนรู้จักกันในชื่อ ฟังก์ชันก่อกำเนิดของพาร์ติชันฟังก์ชันของส่วนกลับของออยเลอร์ฟังก์ชัน อย่างไรก็ดีสำหรับค่า \(n\) โตๆนั้นก็ยังเป็นปัญหาอยู่ดี !
ตอนนี้กลับไปยังรามานุจัน ในช่วงเวลาที่เขาอยู่ที่อังกฤษทำงานกับฮาร์ดีอย่างเข้มข้นเขาก็ได้ค้นพบสูตรประมาณค่า \(p(n)\) สำหรับค่า \(n\) โตๆ
\(p(n)\sim \frac{1}{4n\sqrt{3}}e^{\pi\sqrt{2n/3}}\) (ปี 1918)
รู้จักกันในชื่อ สูตรฮาร์ดี-รามานุจัน (Hardy-Ramanujan formula) ซึ่งถือว่าเป็นผลงานชิ้นสำคัญมากอันหนึ่งของเขาเลยก็ว่าได้ วิธีที่รามานุจันใช่ในการหาค่าประมาณ \(p(n)\) นั้นต่อมารู้จักกันในชื่อ “Ramanujan-Hardy-Littlewood circle method” ในทฤษฎีจำนวน ถ้าใครอยากรู้กระบวนการของการได้มาของสมการด้านบนอ่านเพิ่มเติมได้ที่นี้เลยครับ
ต่อมาในปี 1999 ฮาร์ดีเสนอสูตรแม่นตรงสำหรับ \(p(n)\)
\(p(n)=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n)\sqrt{k}\frac{d}{dn}\left( \frac{\sinh\left( \frac{\pi}{k}\sqrt{\frac{2}{3}(n-\frac{1}{24})}\right)}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)=\sum_{k=1}^\infty T_k(n)\)
โดย
\(A_k(n)=\sum_{0\leq m\leq k;(m,k)=1}e^{i\pi\left(s(m,k)-\frac{2mn}{k}\right) }\) และ \(s(m,k)=\sum_{j=1}^{k-1}\frac{j}{k}\left( \frac{mj}{k}-\left[\frac{mj}{k}\right]-\frac{1}{2}\right)\)
โดยที่พจน์แรกของสมการ \(p(n)\) ในรูปแม่นตรง \(T_1(n)\) คือ พจน์ประมาณของสูตรฮาร์ดี-รามานุจัน นั้นเอง
นอกจากนั้นแล้วรามานุจันยังค้นพบคอนกรูเอนซ์ของพาร์ติชันฟังก์ชัน (Congruences for the partition function) โดยอันแรกคือ \(p(5k+4)\) สำหรับ \(k=0,1,2,….\) เมื่อแทน \(k=0\) ลงไปเราจะได้ \(p(4)=5\) ซึ่งหารด้วย \(5\) ลงตัว ลองดูตัวต่อไปคือ \(k=1\) เราจะได้ \(p(9)=30\) ซึ่งก็หาร \(5\) ลงตัวเหมือนกัน หากเราทำการแทนค่า \(k\) ไปเรื่อยๆ ทุกค่า \(p\) ที่ได้จะหาร \(5\) ลงตัวหมด นอกจากนั้นแล้วรามานุจันยังเจออีก 2 แบบ รวมทั้งหมดมี 3 แบบ
- \(p(5k+4)\) หาร 5 ลงตัว
- \(p(7k+5)\) หาร 7 ลงตัว
- \(p(11k+6)\) หาร 11 ลงตัว
ถึงตรงนี้เราอาจจะพอเห็นรูปแบบบางอย่างของตัวเลขหน้า \(k\) เป็นจำนวนเฉพาะ (prime number) แล้วอาจจะเดาว่าอันต่อไปต้องเป็น \(p(13k+7)\) หาร 13 ลงตัวแน่ แต่ในความเป็นจริงไม่ใช่ ตรงนี้ก็เป็นอะไรที่น่าสนใจอีกอย่างหนึ่ง ปัจจุบันเราเจออันอื่นอีกหลายอันลองดูที่นี้ได้ครับ
การประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์
กลศาสตร์ควอนตัมสถิติ เช่น ตอนนี้เราพิจารณาระบบหลายอนุภาค(ที่เหมือนกันหมด)การสั่นแบบฮามอร์นิกที่มีความถี่เชิงมุม \(\omega\) ที่เป็นไปตามการกระจายตัวเชิงสถิติแบบโบส-ไอน์สไตน์ (Bose-Einstein statistics) โจทย์ตอนนี้คือนับวิธีในการกระจายตัวของอนุภาคที่ให้พลังงานรวมเท่ากับ \(E=3\hbar \omega\) โดยที่แต่ละอนุภาคมีชั้นพลังงาน \(\epsilon_j=\hbar \omega(j+1/2)\) ซึ่งหากเราละสถานะพื้น(เพราะทุกอนุภาคใช้ร่วมกัน) \(\hbar \omega/2\) จะเหลือแค่ \(\epsilon_j=\hbar \omega j\) โดยที่ \(j=0,1,2,…\) เราจะได้รูปดังด้านล่าง
- รูปแบบที่ 1 คือ มี 1 อนุภาคอยู่ชั้นพลังงาน j=3 ที่เหลืออยู่ที่สถานะพื้น
- รูปแบบที่ 2 คือ มี 1 อนุภาคอยู่ชั้นพลังงาน j=2 และ 1 อนุภาคอยู่ชั้นพลังงาน j=1 ที่เหลืออยู่ที่สถานะพื้น
- รูปแบบที่ 3 คือ มี 3 อนุภาคอยู่ชั้นพลังงาน j=1 ที่เหลืออยู่ที่สถานะพื้น
สังเกตได้ว่ารูปแบบทั้งหมดเท่ากับ \(p(3)=3\) เหมือนกันนั้นเอง
ในกลศาสตร์สถิตินั้นมีเรามีพาร์ติชันฟังก์ \(Z(\beta)\) ชันซึ่งหาได้จาก
\(Z(\beta)=\int_0^\infty \Gamma(E)e^{-\beta E}dE\)
โดยที่ \(\beta=1/T\) ส่วนกลับของอุณหภูมิ และ \(\Gamma(E)\) คือ จำนวนของสถานะย่อย (number of microstates) จากความสัมพันธ์ด้านบนเราสามารถคำนวณกลับหา \(\Gamma(E)\) ได้จาก
\(\Gamma(E)=\frac{1}{2\pi i}\int_{-i\infty}^{+i\infty}Z(\beta)e^{\beta E}d\beta\)
สมการด้านบนสามารถหารูปปิดได้เป็น
\(\Gamma(E)=\frac{e^{S(\beta_0)}}{\sqrt{2\pi S”(\beta_0)}}\)
โดยที่ \(S(\beta)\) คือ เอนโทรปี \(S(\beta)=\beta E+\ln Z(\beta)\) และ \(\beta_0\) คือ ค่าวิกฤต ที่ทำให้ \(S'(\beta_0)=0\)
สำหรับระบบหลายอนุภาค(ที่เหมือนกันหมด)การสั่นแบบฮามอร์นิกที่กล่าวไว้ด้านบนเราหาได้ว่า
\(Z(\beta)=\prod_{j=1}^\infty\frac{1}{1-e^{-\beta j}}\)
โดยให้ \(\hbar \omega=1\) เราหาเอนโทรปีได้เป็น
\(S(\beta)=\beta E-\sum_{j=1}^\infty\ln\left( 1-e^{-\beta j}\right)\)
สำหรับ \(\beta \rightarrow 0\) เราจะได้
\(S(\beta)=\frac{\pi^2}{6\beta}+\frac{1}{2}\ln\beta-\frac{1}{2}\ln 2\pi+\left(E-\frac{1}{24} \right)\beta+….\)
จาก \(S'(\beta_0)=0\) ค่าวิกฤตสามารถหาได้เป็น \(\beta_0=\pi/\sqrt{6\pi}\) และ \(S”(\beta_0)=2\sqrt{6}E^{3/2}/\pi\) ดังนั้น
\(\Gamma(E)=\frac{1}{4\sqrt{3}E}e^{\pi\sqrt{2E/3}}\)
ตรงนี้หากเราเปลี่ยนจาก \(E\) เป็น \(n\) สมการด้านบนของจำนวนสถานะย่อยคือ
\(\Gamma(E)=\frac{1}{4\sqrt{3}E}e^{\pi\sqrt{2E/3}}\Rightarrow p(n)=\frac{1}{4\sqrt{3}n}e^{\pi\sqrt{2n/3}}\)
ซึ่งก็คือสมการฮาร์ดี-รามานุจัน นั้นเอง สวยสุดๆ !
ก่อนจบอยากบอกว่าสูตรเรื่องพาร์ติชันนั้นยังไปปรากฏในทฤษฎีสตริงและหลุมดำ(ใครสนใจก็ตามลิงค์ด้านล่างเลยครับ เกี่ยวกับการนับสถานะย่อยของหลุมดำอะไรทำนองนั้นครับ)อีกด้วย แต่เรื่องนี้อาจจะเกินขอบเขตไปละ ดังนั้นขอจบเท่านี้นะครับ
ขอจบด้วยคลิปนี้จากหนังนะครับ ส่วนตัวชอบมากๆ
เขียนลงครั้งแรกวันที่ 27 มีนาคม 2563 (โรคระบาด Covid-19 กำลังระบาดไปทั่วโลก ณ วันที่ลง สหรัฐอเมริกามียอดผู้ติดเชื้อสูงสุด!)
Leave a Reply