ทำไมนักฟิสิกส์ถึงลอง “คูณ” แทนการ “บวก”

ถ้าถามนักฟิสิกส์ว่ากฎข้อไหนลึกที่สุดในธรรมชาติ หลายคนจะตอบว่า หลักการกระทำน้อยที่สุด (principle of least action) — ธรรมชาติเลือกเส้นทางที่ทำให้ปริมาณหนึ่งที่เรียกว่า “การกระทำ” (action) มีค่าสุดขีด

ฟิสิกส์ที่สร้างบนการ “บวก”

วิธีมาตรฐานคือเขียน ลากรานเจียน (Lagrangian) ซึ่งบรรจุพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของระบบไว้ แล้ว บวกสะสม ค่านี้ไปตามเวลา เส้นทางที่ธรรมชาติเลือกจริงคือเส้นทางที่ผลรวมนี้มีค่าสุดขีด

โครงสร้างแบบ “บวก” นี้ประสบความสำเร็จอย่างน่าทึ่ง มันคือรากฐานของกลศาสตร์คลาสสิก แม่เหล็กไฟฟ้า สัมพัทธภาพทั่วไป ไปจนถึงแบบจำลองมาตรฐานของอนุภาค — ทฤษฎีสนามทุกทฤษฎีที่เราเชื่อถือสร้างอยู่บนมัน

สมมติฐานที่ซ่อนอยู่

แต่การเลือก “บวก” ไม่ได้เป็นกลาง มันพกสมมติฐานมาด้วย เช่น การซ้อนทับเชิงเส้น กฎการอนุรักษ์แบบบวก และความหมายเฉพาะของการ “รวม” สองสิ่งเข้าด้วยกัน สมมติฐานเหล่านี้ฝังลึกจนแทบไม่มีใครตั้งคำถาม — ซึ่งแปลว่ากรอบคิดนี้อาจมองไม่เห็นโครงสร้างที่อยู่นอกมัน

กลับคำถาม: เริ่มจากคำตอบ

งานของเราเสนอให้เปลี่ยนลากรานเจียนแบบบวกเป็นแบบ คูณ (multiplicative) และที่สำคัญกว่านั้นคือเปลี่ยนทิศของคำถาม แทนที่จะเดาลากรานเจียนแล้วหาสมการการเคลื่อนที่ เราเริ่มจากสมการการเคลื่อนที่ที่รู้อยู่แล้ว แล้วถามว่า

ลากรานเจียนแบบคูณแบบไหน ที่ให้สมการเหล่านี้ออกมาพอดี?

นี่คือ ปัญหาผกผันของแคลคูลัสของการแปรผัน (inverse problem of the calculus of variations) ลากรานเจียนจึงไม่ได้ถูกเดาหรือตั้งสมมติฐานขึ้นมา แต่ถูก แก้หา ให้สอดคล้องกับฟิสิกส์ที่รู้อยู่แล้ว เราไม่ได้แค่เขียนทฤษฎีเดิมในรูปใหม่ แต่กำลังเปิดโครงสร้างลากรานเจียนที่วิธีแบบบวกมองไม่เห็น เพราะวิธีแบบบวกไม่เคยถามคำถามย้อนกลับนี้

แล้วมันพาไปไหน

กรอบคิดนี้ถูกนำไปใช้กับคำถามหลายระดับ ตั้งแต่ระบบกลศาสตร์พื้นฐาน การกำเนิดลากรานเจียนเชิงสัมพัทธภาพจากลากรานเจียนแบบคูณที่ไม่ใช่เชิงสัมพัทธภาพ ไปจนถึงคำถามในฟิสิกส์อนุภาค เช่น ค่า cutoff ตามธรรมชาติของสนามฮิกส์ และความเล็กของมวลนิวทริโน รายละเอียดดูได้ที่หน้า Publications

คำถามที่ยังเปิดอยู่ก็น่าสนใจไม่แพ้กัน: สมการประเภทไหนบ้างที่มีลากรานเจียนแบบคูณ? อะไรจะมาแทนทฤษฎีบทของเนอเธอร์เมื่อลากรานเจียนเป็นแบบคูณ? และกรอบนี้จะเข้าสู่โลกควอนตัมได้อย่างไร?